Решать задания
Физика · тема 12 из 19 · ОГЭ № 1–6, 21–22 · ЕГЭ № 1–2, 27

Векторы, проекции и сложение сил

Как складывать векторы, находить их проекции на оси и считать равнодействующую — основа любой задачи по механике.

14 мин чтенияОГЭЕГЭ22 задания

Коротко

главное за 30 секунд
  1. Вектор — величина с модулем и направлением; складываются векторы по правилу треугольника или параллелограмма
  2. Проекция на ось: $F_x = F\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором и осью; знак «минус», если вектор направлен против оси
  3. Силы вдоль одной прямой: $R = F_1 + F_2$ (в одну сторону) и $R = |F_1 - F_2|$ (в разные)
  4. Перпендикулярные силы: $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$
  5. Общий случай: $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\gamma$, где $\gamma$ — угол между векторами, отложенными из одной точки
  6. Равновесие: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$; второй закон: $ma_x = \sum F_x$

Вектор и сложение векторов

Скорость, перемещение, ускорение и сила — векторные величины: у них есть и число (модуль), и направление. Масса, время, путь, энергия — скаляры, у них направления нет.

Складывают векторы двумя способами:

  • правило треугольника: начало второго вектора помещают в конец первого, сумма идёт из начала первого в конец второго;
  • правило параллелограмма: векторы откладывают из одной точки, сумма — диагональ параллелограмма, построенного на них.
Модуль суммы векторов не равен сумме модулей. $|\vec a + \vec b| = |\vec a| + |\vec b|$ только если векторы направлены в одну сторону.
«Сила 3 Н и сила 4 Н дают равнодействующую 7 Н» — верно лишь для сил вдоль одной прямой в одну сторону. Для перпендикулярных сил получится 5 Н, для противоположных — 1 Н.
Проверь себя. Две силы 3 Н и 4 Н перпендикулярны друг другу. Чему равен модуль их равнодействующей (в Н)?

Ответ: 5

Проекция вектора на ось

Проекция превращает векторное равенство в обычное числовое. Опускаем перпендикуляры из начала и конца вектора на ось — длина полученного отрезка со знаком и есть проекция.

$$F_x = F\cos\alpha \qquad F_y = F\sin\alpha$$ Здесь $\alpha$ — угол между вектором и осью $x$. Проекция положительна, если вектор смотрит в сторону оси, и отрицательна, если против оси.

Пример. Сила 20 Н направлена под углом $60^\circ$ к горизонтальной оси $x$. Тогда $F_x = 20\cos 60^\circ = 10$ Н, $F_y = 20\sin 60^\circ \approx 17{,}3$ Н. Если бы угол $60^\circ$ отсчитывали от вертикали, синус и косинус поменялись бы местами.

Косинус — «прилежащий» катет, синус — «противолежащий». Всегда смотрите, от какой оси отсчитан угол. Прежде чем писать $\cos$ или $\sin$, нарисуйте прямоугольный треугольник.
Проверь себя. Вектор длиной 10 Н составляет угол $30^\circ$ с осью $x$. Найдите проекцию на ось $y$ (в Н).

Ответ: 5

Три частных случая сложения сил

В задачах чаще всего встречаются три простых случая и один общий.

Взаимное расположениеРавнодействующая $R$
вдоль одной прямой, в одну сторону$F_1 + F_2$
вдоль одной прямой, в противоположные стороны$|F_1 - F_2|$
под углом $90^\circ$$\sqrt{F_1^2 + F_2^2}$
под углом $\gamma$ (общий случай)$\sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\gamma}$
Общий случай — это теорема косинусов. Угол $\gamma$ берётся между векторами, отложенными из одной точки. При $\gamma = 0^\circ$ получаем $F_1 + F_2$, при $180^\circ$ — $|F_1 - F_2|$, при $90^\circ$ — теорему Пифагора.
Две равные силы $F$ под углом $120^\circ$ дают равнодействующую тоже $F$ (треугольник из трёх равных сторон), под углом $60^\circ$ — $F\sqrt{3}$.
Проверь себя. Силы 5 Н и 12 Н перпендикулярны. Найдите равнодействующую (в Н).

Ответ: 13

Равновесие и второй закон в проекциях

Когда сил больше двух или они «разбросаны» по углам, складывать по правилу параллелограмма неудобно. Выбираем оси, проецируем все силы и получаем два уравнения:

Равновесие: $\sum F_x = 0,\ \sum F_y = 0$. Движение: $ma_x = \sum F_x,\ ma_y = \sum F_y$.

Пример. Груз массой 6 кг висит на двух одинаковых нитях, каждая образует с горизонтом угол $30^\circ$. Вертикальные проекции: $2T\sin 30^\circ = mg$, откуда $T = \dfrac{mg}{2\sin 30^\circ} = \dfrac{60}{2\cdot 0{,}5} = 60$ Н. Горизонтальные проекции сил натяжения равны по модулю и взаимно уничтожаются.

Чем более «пологие» нити (меньше угол с горизонтом), тем сильнее они натянуты при том же грузе. Порвать провисающий трос проще всего, когда он почти горизонтален.
Проверь себя. Тело массой 1 кг движется под действием двух перпендикулярных сил 3 Н и 4 Н. Чему равно ускорение (м/с²)?

Ответ: 5

Практика

Закрепите тему: 22 задания для ОГЭ и ЕГЭ

От простых к сложным: базовый уровень — 5, повышенный — 13, высокий — 4. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.

Решать задания по теме Флеш-карточки