Три закона Ньютона
Первый закон (закон инерции): существуют такие системы отсчёта — инерциальные, — в которых тело сохраняет скорость постоянной, если на него не действуют силы или их действие скомпенсировано.
Второй закон: ускорение тела пропорционально равнодействующей всех сил и обратно пропорционально массе.
Третий закон: тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю, противоположными по направлению и лежащими на одной прямой: $\vec F_{12} = -\vec F_{21}$.
Проверь себя. На тело массой 2 кг действуют две силы вдоль одной прямой: 10 Н вправо и 4 Н влево. Чему равно ускорение тела (в м/с²)?
Ответ: 3
Силы в механике
| Сила | Формула | Куда направлена |
|---|---|---|
| Тяжести | $F = mg$ | вертикально вниз |
| Упругости (закон Гука) | $F = k|x|$ | против деформации |
| Трения скольжения | $F = \mu N$ | против скорости относительно опоры |
| Реакции опоры | $N$ — из второго закона | перпендикулярно опоре |
| Всемирного тяготения | $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ | вдоль линии, соединяющей центры |
$G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$. Сила трения скольжения не зависит от площади соприкосновения. Сила трения покоя меняется от нуля до $\mu N$ и равна той силе, которую она уравновешивает.
Вес — сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. Он приложен к опоре, а не к телу. В покоящемся лифте $P = mg$; при ускорении вверх $P = m(g + a)$ (перегрузка); при ускорении вниз $P = m(g - a)$; при свободном падении $P = 0$ — невесомость. Сила тяжести при этом никуда не исчезает.
Спутники. Для круговой орбиты сила тяготения даёт центростремительное ускорение: $G\dfrac{Mm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}$, откуда $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$. Первая космическая скорость у поверхности Земли $v_1 = \sqrt{gR} \approx 7{,}9$ км/с. Чем выше орбита, тем меньше скорость и больше период.
Алгоритм решения задач динамики
- Нарисуйте все силы, действующие на каждое тело (только силы, а не «силу инерции»).
- Выберите оси: одну — вдоль ускорения, другую — перпендикулярно.
- Запишите второй закон в проекциях на каждую ось.
- Добавьте связи: $F_{тр} = \mu N$, нерастяжимая нить — одинаковые ускорения, невесомая нить — одинаковое натяжение.
Пример. Брусок соскальзывает с наклонной плоскости с углом $\alpha$, коэффициент трения $\mu$.
Ось $Oy$ перпендикулярно плоскости: $N - mg\cos\alpha = 0$, значит $N = mg\cos\alpha$. Ось $Ox$ вдоль плоскости вниз: $ma = mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha$.
$$a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$$ Масса сократилась — ускорение от неё не зависит. Если $\mu \ge \operatorname{tg}\alpha$, брусок не поедет сам.
Равновесие, давление и сила Архимеда
Условия равновесия: сумма сил равна нулю и сумма моментов сил равна нулю. Момент силы $M = Fl$, где $l$ — плечо (кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы). Для рычага: $F_1 l_1 = F_2 l_2$ — выигрыш в силе равен проигрышу в расстоянии.
Давление $p = \dfrac{F}{S}$, единица — паскаль (Па = Н/м²). Давление столба жидкости $p = \rho g h$ зависит только от глубины и плотности, но не от формы сосуда. По закону Паскаля давление передаётся жидкостью во все стороны одинаково — на этом работает гидравлический пресс: $\dfrac{F_1}{S_1} = \dfrac{F_2}{S_2}$.
Тело тонет, если $F_A \lt mg$; плавает, если $F_A = mg$. Для плавающего тела доля погружённого объёма равна $\rho_{тела}/\rho_{ж}$: лёд плотностью 900 кг/м³ погружён в воду на 90 %.