Решать задания
Математика · тема 4 из 21 · ОГЭ № 1–5, 14, 21 · ЕГЭ № 9, 10, 16

Текстовые задачи: проценты, движение, работа

Проценты, движение, работа, смеси и прогрессии: как перевести сюжет на язык уравнения.

25 мин чтенияОГЭЕГЭ22 задания

Коротко

главное за 30 секунд
  1. Увеличить на $p\%$ — умножить на $1+\dfrac{p}{100}$
  2. $s=vt$; навстречу скорости складываются, по реке $v\pm u$
  3. $A=pt$; при совместной работе производительности складываются
  4. В смесях складываются массы вещества, а не концентрации
  5. Сложные проценты: $S=S_0\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$

Проценты

$p\%$ от числа $a$ — это $a\cdot\dfrac{p}{100}$.

Увеличить на $p\%$ — умножить на $1+\dfrac{p}{100}$; уменьшить на $p\%$ — умножить на $1-\dfrac{p}{100}$.

На сколько процентов $b$ больше $a$: $\dfrac{b-a}{a}\cdot100\%$.

Пример. Куртка стоила 800 рублей, цену повысили на 15%. Новая цена: $800\cdot1{,}15=920$ рублей.

Повысить цену на 20%, а потом понизить на 20% — не значит вернуть её обратно: $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$, то есть цена упала на 4%. Проценты всегда считаются от текущей величины.
Проверь себя. Сколько составляют 30% от числа 250?

Ответ: 75

100100 руб.120 руб.96 руб.× 1,2+20%× 0,8−20% от 120итог: × 1,2 · 0,8 = × 0,96, то есть −4%
Рис. 1. +20%, затем −20%: 100 → 120 → 96. Множители перемножаются: 1,2 · 0,8 = 0,96 — цена упала на 4%

Задачи на движение

$$s=vt,\qquad v_{\text{сбл}}=v_1+v_2\ \ \text{(навстречу)},\qquad v_{\text{сбл}}=v_1-v_2\ \ \text{(вдогонку)}.$$

По реке: скорость по течению $v+u$, против течения $v-u$, где $v$ — собственная скорость, $u$ — скорость течения.

Пример. Лодка прошла 16 км по течению и 16 км против течения, затратив на весь путь 6 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Пусть $v$ км/ч — собственная скорость. Тогда $\dfrac{16}{v+2}+\dfrac{16}{v-2}=6$. Умножаем на $(v+2)(v-2)$: $32v=6(v^2-4)$, $3v^2-16v-12=0$, $D=256+144=400$, $v=\dfrac{16+20}{6}=6$ (второй корень $-\dfrac23$ не подходит). Проверка: $2+4=6$ ч. Ответ: 6 км/ч.

Составляйте таблицу «скорость — время — расстояние» для каждого участника. Уравнение получается из той величины, про которую в условии сказано «на столько-то больше» или «всего».
навстречуv₁v₂скорость сближенияv₁ + v₂вдогонкуv₁v₂скорость сближенияv₁ − v₂по рекетечение u →по течению: v + uпротив течения: v − u
Рис. 2. Навстречу скорости складываются, вдогонку вычитаются; по течению к собственной скорости прибавляется скорость реки, против течения — вычитается

Задачи на работу

$$A=p\cdot t$$

$A$ — объём работы, $p$ — производительность (работа в единицу времени), $t$ — время. Если объём не задан, примите всю работу за $1$. При совместной работе производительности складываются.

Пример. Одна труба наполняет бассейн за 6 ч, другая — за 12 ч. Вместе они наполняют $\dfrac16+\dfrac1{12}=\dfrac3{12}=\dfrac14$ бассейна в час, значит, весь бассейн — за 4 ч.

1-й час2-й час3-й час4-й частруба 1: 1/6 = 2/12 бассейна в частруба 2: 1/12 в час1/6 + 1/12 = 3/12 = 1/4 бассейна в час → весь за 4 часа
Рис. 3. Бассейн — 12 долей. Первая труба наполняет 1/6 = 2 доли в час, вторая — 1/12 = 1 долю; вместе 3 доли в час, весь бассейн — за 4 часа

Смеси, сплавы, растворы

Главная величина — масса «чистого» вещества: $m_{\text{в-ва}}=c\cdot m_{\text{смеси}}$, где $c$ — концентрация в долях единицы. При смешивании массы вещества складываются, а концентрации — нет.

Пример. Смешали 2 кг 10-процентного и 3 кг 20-процентного раствора соли. Соли в смеси: $0{,}2+0{,}6=0{,}8$ кг на $5$ кг раствора, концентрация $\dfrac{0{,}8}{5}=0{,}16$, то есть 16%.

10%раствор 2 кгсоли 0,2 кг+20%раствор 3 кгсоли 0,6 кг=0,8 : 5 = 0,16 = 16%раствор 5 кгсоли 0,8 кг
Рис. 4. При смешивании складываются массы соли, а не проценты: 0,2 + 0,6 = 0,8 кг соли на 5 кг раствора — это 16%

Прогрессии

Арифметическая: $a_n=a_1+d(n-1)$, $\ S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$.

Геометрическая: $b_n=b_1q^{n-1}$, $\ S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.

В ОГЭ №14 прогрессия спрятана в сюжет: «каждый день на 3 минуты больше» — арифметическая, «каждые 10 минут количество бактерий удваивается» — геометрическая.

2+35+38+311разности равныарифметическая, d = 33×26×212×224отношения равныгеометрическая, q = 2
Рис. 5. Одинаковые разности соседних членов — арифметическая прогрессия (+3), одинаковые отношения — геометрическая (×2)

Сложные проценты и прикладные задачи ЕГЭ

Если величина каждый год растёт на $p\%$ от текущего значения, то через $n$ лет $S=S_0\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$. На этом построены задачи про вклады и кредиты (ЕГЭ №16): там ещё учитывают ежегодные выплаты, а решение удобно вести таблицей «долг до начисления — после начисления — после выплаты».

ЕГЭ №9 — задача с готовой формулой из физики или экономики. Подставьте известные величины и решите получившееся уравнение или неравенство; ответ часто требуется в других единицах — перечитайте вопрос.

Практика

Закрепите тему: 22 задания для ОГЭ и ЕГЭ

От простых к сложным: базовый уровень — 7, повышенный — 11, высокий — 4. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.

Решать задания по теме Флеш-карточки