Основные функции и их графики
Функция сопоставляет каждому $x$ ровно одно значение $y$. По графику на экзамене нужно уметь находить значение $f(x_0)$, нули функции (точки пересечения с осью $Ox$), промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения.
| Функция | График | Что задают коэффициенты |
|---|---|---|
| $y=kx+b$ | прямая | $k$ — наклон ($k\gt0$ — возрастает), $b$ — точка $(0;\,b)$ на оси $Oy$ |
| $y=\dfrac{k}{x}$ | гипербола | $k\gt0$ — ветви в I и III четвертях, $k\lt0$ — во II и IV |
| $y=ax^2+bx+c$ | парабола | $a\gt0$ — ветви вверх, $c$ — точка $(0;\,c)$ на оси $Oy$ |
| $y=\sqrt x$ | половина параболы | определена при $x\ge0$ |
| $y=a^x$, $y=\log_a x$ | экспонента, логарифмика | $a\gt1$ — возрастают, $0\lt a\lt1$ — убывают |
Прямая: коэффициенты по двум точкам
Пример. Прямая проходит через точки $(1;\,3)$ и $(3;\,7)$. Тогда $k=\dfrac{7-3}{3-1}=2$, $b=3-2\cdot1=1$, и формула прямой: $y=2x+1$.
Парабола
Порядок разбора: знак $a$ → направление ветвей; $c$ → точка $(0;\,c)$; вершина; нули функции через дискриминант.
Проверь себя. Найдите абсциссу вершины параболы $y=x^2-6x+5$.
Ответ: 3
Гипербола и сдвиги графиков
Графики сдвигаются по простым правилам:
- $y=f(x)+m$ — сдвиг на $m$ вверх;
- $y=f(x-n)$ — сдвиг на $n$ вправо (знак «наоборот»);
- $y=-f(x)$ — отражение относительно оси $Ox$;
- $y=f(|x|)$ — правая половина графика отражается влево.
Гипербола $y=\dfrac{k}{x-n}+m$ имеет асимптоты $x=n$ и $y=m$; коэффициент $k$ находят по одной точке графика.
Пример. Гипербола $y=\dfrac{k}{x}+a$ проходит через точки $(1;\,4)$ и $(2;\,3)$. Подставляем: $k+a=4$ и $\dfrac k2+a=3$. Вычитаем: $\dfrac k2=1$, $k=2$, $a=2$.
Поменяйте параметры и посмотрите, как двигается график:
Интерактив «Графики функций» — открыть в тренажёре →
Графики с модулем (ОГЭ №22)
Функцию вида $y=x^2-4|x|+3$ строят для $x\ge0$ (там $|x|=x$), а затем отражают симметрично относительно оси $Oy$ — ведь функция чётная. После этого выясняют, при каких $m$ горизонтальная прямая $y=m$ имеет с графиком нужное число общих точек: прямую мысленно двигают снизу вверх и считают пересечения.