Решать задания
Математика · тема 16 из 21 · ОГЭ № 18 · ЕГЭ № 2

Векторы и координаты на плоскости, скалярное произведение

Координатный метод превращает геометрию в арифметику: длины, середины, углы и перпендикулярность находятся по формулам.

14 мин чтенияОГЭЕГЭ22 задания

Коротко

главное за 30 секунд
  1. Вектор $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A)$, длина $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}$
  2. Середина отрезка: $M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\,\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
  3. Сложение и умножение на число — покоординатно
  4. Скалярное произведение $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2=|\vec a||\vec b|\cos\varphi$
  5. $\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$; $\vec a\parallel\vec b\iff\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}$

Координаты точки и вектора

Чтобы получить вектор из точки $A$ в точку $B$, вычтите координаты начала из координат конца. Длина вектора равна расстоянию между точками — это теорема Пифагора.

$$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\;y_B-y_A),\quad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\quad M\!\left(\frac{x_A+x_B}{2};\,\frac{y_A+y_B}{2}\right).$$

Пример. $A(1;\,2)$, $B(7;\,10)$. Вектор $\overrightarrow{AB}=(6;\,8)$, длина $\sqrt{36+64}=10$; середина $M(4;\,6)$.

Порядок вычитания важен: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. «Конец минус начало» — не наоборот. Длина от порядка не зависит.
Проверь себя. Найдите длину отрезка $AB$, если $A(1;\,2)$, $B(7;\,10)$.

Ответ: 10

xy1234567812345678910110A(1; 2)B(7; 10)M(4; 6)Δx = 6Δy = 8AB = √(6² + 8²) = 10AB = (6; 8)
Рис. 1. Вектор AB = (7 − 1; 10 − 2) = (6; 8) — «конец минус начало»; длина — гипотенуза: √(36 + 64) = 10; середина M(4; 6)

Действия над векторами

Вектора складывают и умножают на число покоординатно. Геометрически сумма — диагональ параллелограмма, построенного на векторах (или правило треугольника: конец первого — начало второго).

$\vec a+\vec b=(x_1+x_2;\,y_1+y_2)$, $\vec a-\vec b=(x_1-x_2;\,y_1-y_2)$, $k\vec a=(kx_1;\,ky_1)$.
Векторы коллинеарны (параллельны), если координаты пропорциональны: $\vec b=k\vec a$.

Пример. $\vec a=(2;\,3)$, $\vec b=(1;\,-5)$. Тогда $\vec a+\vec b=(3;\,-2)$, $\vec a-\vec b=(1;\,8)$, $2\vec a=(4;\,6)$.

Для параллелограмма $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, значит $C=B+D-A$ (по координатам). Так находят четвёртую вершину.
Проверь себя. Векторы $(2;\,5)$ и $(6;\,m)$ коллинеарны. Найдите $m$.

Ответ: 15

xy−112345−6−5−4−3−2−112340aba + ba = (2; 3)b = (1; −5)a + b = (3; −2)
Рис. 2. Правило треугольника: от конца a откладываем b; сумма a + b = (2 + 1; 3 − 5) = (3; −2) — диагональ параллелограмма

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов — число. Оно считается по координатам, а по нему находят угол между векторами и проверяют перпендикулярность.

$$\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi,\qquad \cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}.$$ $\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$. Квадрат вектора: $\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$.

Пример. $\vec a=(1;\,1)$, $\vec b=(-1;\,0)$. $\vec a\cdot\vec b=-1$, $|\vec a|=\sqrt2$, $|\vec b|=1$. $\cos\varphi=-\dfrac{1}{\sqrt2}$, значит, $\varphi=135^\circ$.

Скалярное произведение — не вектор и не «длина на длину». Если $\vec a\cdot\vec b\lt0$, угол между векторами тупой; если $=0$ — прямой; если $\gt0$ — острый.
Проверь себя. При каком $m$ векторы $(4;\,m)$ и $(3;\,6)$ перпендикулярны?

Ответ: -2

aba · b > 0: угол острый3 · 1 + 1 · 2 = 5aba · b = 0: угол прямой2 · (−1) + 1 · 2 = 0aba · b < 0: тупой1 · (−1) + 1 · 0 = −145°135°
Рис. 3. Знак скалярного произведения показывает угол между векторами: больше нуля — острый, ноль — прямой, меньше нуля — тупой

Типовые задачи №2 и на клетчатой бумаге

В ЕГЭ №2 векторы задают на клетчатой бумаге или в параллелограмме (квадрате, треугольнике). Алгоритм: введите систему координат (начало — в удобной вершине, оси — вдоль сторон), запишите координаты векторов и посчитайте.

$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\,\vec a\cdot\vec b$. Если известны длины и угол между векторами — используйте эту формулу, координаты вводить не нужно.

Пример. $|\vec a|=3$, $|\vec b|=4$, угол между ними $60^\circ$. Тогда $\vec a\cdot\vec b=3\cdot4\cdot\dfrac12=6$ и $|\vec a+\vec b|^2=9+16+12=37$.

Клетка на рисунке — единичный отрезок. Считайте координаты по клеткам от начала, а не «на глаз». Ошибка на одну клетку меняет ответ.
60°|a| = 3|b| = 4√37a · b = |a| · |b| · cos 60°= 3 · 4 · ½ = 6|a + b|² = 9 + 16 + 2 · 6 = 37|a + b| = √37 ≈ 6,08
Рис. 4. |a| = 3, |b| = 4, угол 60°: a · b = 3 · 4 · ½ = 6 и |a + b|² = 9 + 16 + 2 · 6 = 37, |a + b| = √37 ≈ 6,08
Практика

Закрепите тему: 22 задания для ОГЭ и ЕГЭ

От простых к сложным: базовый уровень — 7, повышенный — 13, высокий — 2. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.

Решать задания по теме Флеш-карточки