Решать задания
Математика · тема 17 из 21 · ОГЭ № 1–5, 10 · ЕГЭ № 9

Статистика: среднее, медиана, мода, диаграммы и таблицы

Как описать набор чисел одним значением, как читать круговые и столбчатые диаграммы и когда среднее арифметическое обманывает.

12 мин чтенияОГЭЕГЭ22 задания

Коротко

главное за 30 секунд
  1. Среднее арифметическое $=\dfrac{\text{сумма}}{\text{количество}}$
  2. Медиана — «середина» упорядоченного ряда; при чётном числе значений — среднее двух средних
  3. Мода — самое частое значение (их может быть несколько или ни одной); размах = наибольшее − наименьшее
  4. Круговая диаграмма: $360^\circ$ соответствует $100\%$, столбчатая — сравнивает высоты
  5. Средняя скорость на двух равных участках — не среднее арифметическое скоростей

Среднее арифметическое, медиана, мода, размах

Четыре числа описывают набор данных: где «центр» (среднее, медиана, мода) и насколько он «разбросан» (размах).

Среднее: $\bar x=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$. Медиана: середина ряда после упорядочивания. Мода: самое частое значение. Размах: $x_{\max}-x_{\min}$.

Пример. Ряд $3;\,8;\,1;\,9;\,5;\,7$. Упорядочим: $1;\,3;\,5;\,7;\,8;\,9$. Значений шесть (чётное число), медиана — среднее двух средних: $\dfrac{5+7}{2}=6$. Среднее: $\dfrac{33}{6}=5{,}5$. Размах: $9-1=8$.

Медиану ищут только в упорядоченном ряду: в исходном порядке $3;\,8;\,1;\,9;\,5;\,7$ «серединой» окажутся 1 и 9 — это ошибка.
Проверь себя. Найдите медиану ряда $3;\,8;\,1;\,9;\,5;\,7$.

Ответ: 6

исходный ряд381957упорядочить135789медианаn = 6 — чётноемедиана = (5 + 7) / 2 = 6среднее = 33 / 6 = 5,5размах = 9 − 1 = 8
Рис. 1. Медиана — середина упорядоченного ряда: для 1; 3; 5; 7; 8; 9 это (5 + 7) / 2 = 6. Среднее 33 / 6 = 5,5, размах 9 − 1 = 8

Когда среднее обманывает

Среднее чувствительно к выбросам: одно очень большое или очень маленькое значение сдвигает его сильно, а медиана почти не меняется. Поэтому для зарплат, цен на жильё и других «перекошенных» данных сообщают медиану.

Ряд $1;\,2;\,3;\,100$: среднее $=26{,}5$, медиана $=2{,}5$. Медиана лучше описывает «типичное» значение. Мода полезна для категорий («самый частый размер обуви»).

Пример. Среднее из пяти чисел равно 8. Добавили шестое число, и среднее стало 9. Сумма пяти: $5\cdot8=40$, сумма шести: $6\cdot9=54$. Шестое число: $54-40=14$.

Мода не обязана быть единственной: в ряду $2;\,2;\,5;\,5;\,7$ две моды — 2 и 5. А в ряду, где все значения различны, моды нет.
Проверь себя. Среднее шести чисел равно 10. Одно из них, равное 4, убрали. Найдите среднее оставшихся.

Ответ: 11,2

020406080100среднее 26,5медиана 2,5выбросряд 1; 2; 3; 100: среднее = 106 / 4 = 26,5, медиана = (2 + 3) / 2 = 2,5
Рис. 2. Один выброс 100 утянул среднее к 26,5, а медиана 2,5 осталась рядом с типичными значениями 1, 2, 3

Диаграммы и таблицы

Круговая диаграмма показывает доли целого: весь круг $=360^\circ=100\%$. Столбчатая сравнивает величины по высоте; линейная показывает изменение во времени. Перед вычислением найдите цену деления и единицы измерения.

Сектор в $\alpha^\circ$ — это $\dfrac{\alpha}{360}$ от целого. Чтобы найти количество: $\text{число}=\dfrac{\alpha}{360}\cdot N$, где $N$ — общее число объектов.

Пример. Опросили 200 человек. Сектор «любят математику» на диаграмме — $72^\circ$. Их $\dfrac{72}{360}\cdot200=40$ человек, то есть $20\%$.

В круговой диаграмме проценты в сумме дают $100\%$, а не число объектов. Если на диаграмме подписаны проценты, а спрашивают «сколько человек», умножайте долю на общее число.
Проверь себя. Опросили 200 человек. Сектор на круговой диаграмме — $72^\circ$. Сколько человек в этой группе?

Ответ: 40

20%математика: 72° → 20% → 40 чел.25%физика: 90° → 25% → 50 чел.30%русский язык: 108° → 30% → 60 чел.25%другое: 90° → 25% → 50 чел.число = α / 360 · N = 72 / 360 · 200 = 40
Рис. 3. Круговая диаграмма: весь круг 360° = 100% = 200 человек. Сектор 72° — это 72/360 = 20%, то есть 40 человек

Взвешенное среднее и средняя скорость

Если значения встречаются с разной частотой (весом), среднее нельзя брать «по числам»: надо сложить все наблюдения. Для скорости веса — время в пути.

Взвешенное среднее: $\bar x=\dfrac{x_1n_1+x_2n_2+\ldots}{n_1+n_2+\ldots}$. Средняя скорость $=\dfrac{\text{весь путь}}{\text{всё время}}$. На двух равных участках со скоростями $v_1$, $v_2$: $v_{\text{ср}}=\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$.

Пример. Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую — 40 км/ч. Средняя скорость: $\dfrac{2\cdot60\cdot40}{100}=48$ км/ч, а не $50$.

Среднее арифметическое скоростей $\dfrac{60+40}{2}=50$ верно только тогда, когда на каждой скорости ехали одно и то же время. При равных путях на медленном участке тратится больше времени.
0,511,522,5320406080100120140t, чs, км60 км/ч40 км/чvср = 48 км/чvср = весь путь / всё время = 120 / 2,5 = 48 км/ч
Рис. 4. Половину пути (60 км) едем 1 ч со скоростью 60 км/ч, вторую половину — 1,5 ч со скоростью 40 км/ч. Средняя скорость 120 / 2,5 = 48 км/ч, а не 50
Практика

Закрепите тему: 22 задания для ОГЭ и ЕГЭ

От простых к сложным: базовый уровень — 10, повышенный — 10, высокий — 2. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.

Решать задания по теме Флеш-карточки