Математика · тема 15 из 21 · ОГЭ № 16–17 · ЕГЭ № 1, 17
Окружность: касательная, хорды, вписанная и описанная окружности
Свойства касательных, хорд и углов в окружности, формулы радиусов вписанной и описанной окружностей и признаки вписанных и описанных четырёхугольников.
15 мин чтенияОГЭЕГЭ22 задания
Коротко
главное за 30 секунд
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной; отрезки касательных из одной точки равны
Касательная и секущая: $AT^2=AB\cdot AC$
Хорды: $AE\cdot EB=CE\cdot ED$; вписанный угол равен половине дуги
Вписанная окружность: $r=\dfrac Sp$; у прямоугольного треугольника $r=\dfrac{a+b-c}{2}$
Описанная окружность: $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{a}{2\sin A}$; у четырёхугольника $\angle A+\angle C=180^\circ$
1.Касательная и секущая
Касательная имеет с окружностью одну общую точку. Радиус в точку касания образует с ней прямой угол — поэтому «расстояние от центра до точки вне окружности» почти всегда находится по теореме Пифагора.
Из точки $A$ вне окружности проведены касательные $AB$, $AC$: $AB=AC$ и $OA$ — биссектриса угла $BAC$. Касательная $AT$ и секущая $ABC$: $$AT^2=AB\cdot AC.$$
В формуле касательной и секущей $AC$ — вся секущая от точки $A$ до дальнего конца, а не её часть внутри окружности. Если $AB=4$, $BC=5$, то $AC=9$ и $AT^2=4\cdot9=36$.
Проверь себя. Из точки $A$ проведена касательная $AB=12$ к окружности радиуса 5. Найдите расстояние от $A$ до центра.
Ответ: 13
Рис. 1. Слева: радиус в точку касания перпендикулярен касательной, OA = √(5² + 12²) = 13, отрезки касательных равны. Справа: AT² = AB · AC, где AC — вся секущая
2.Хорды и углы
Две пересекающиеся хорды делятся точкой пересечения на отрезки с одинаковым произведением. А угловые величины связаны с дугами.
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в $E$: $AE\cdot EB=CE\cdot ED$. Центральный угол равен дуге; вписанный угол равен половине дуги; вписанные углы на одну дугу равны; угол на диаметр — $90^\circ$; угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает хорда.
Пример. $AE=4$, $EB=9$, $CE=6$. Найдите $ED$.
$4\cdot9=6\cdot ED\Rightarrow ED=6$.
Угол в $90^\circ$ опирается на диаметр, а не на любую хорду. И вписанный угол в $2$ раза меньше центрального: если дуга $100^\circ$, то вписанный угол $50^\circ$.
Проверь себя. Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, $AE=4$, $EB=9$, $CE=6$. Найдите $ED$.
Ответ: 6
Рис. 2. Пересекающиеся хорды: произведения отрезков равны, AE · EB = CE · ED, то есть 4 · 9 = 6 · 6
3.Вписанная окружность
В любой треугольник можно вписать окружность; её центр лежит в точке пересечения биссектрис, а радиус — это расстояние до сторон. Четырёхугольник описан около окружности, если суммы его противоположных сторон равны.
Формула $r=\dfrac{a+b-c}{2}$ верна только для прямоугольного треугольника, где $c$ — гипотенуза. Для общего случая используйте $r=\dfrac Sp$.
Проверь себя. Стороны треугольника 13, 14, 15, его площадь 84. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ: 4
Рис. 3. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию с основаниями 4 и 16: отрезки касательных 2 и 8 дают боковую сторону 10, высота 8 = 2r, r = 4
4.Описанная окружность и вписанный четырёхугольник
Около любого треугольника можно описать окружность: центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров. Около четырёхугольника окружность описывают не всегда — только если сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
Пример. В $\triangle ABC$: $BC=10$, $\angle A=30^\circ$. Тогда $R=\dfrac{10}{2\sin30^\circ}=\dfrac{10}{2\cdot0{,}5}=10$.
Параллелограмм, не являющийся прямоугольником, и ромб (не квадрат) вписать в окружность нельзя — у них противоположные углы равны, а не дополняют друг друга до $180^\circ$.
Рис. 4. Слева: у вписанного четырёхугольника ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°. Справа: центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, R = c / 2
Практика
Закрепите тему: 22 задания для ОГЭ и ЕГЭ
От простых к сложным: базовый уровень — 6, повышенный — 12, высокий — 4. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.