Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
| Угол | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ |
| $\tg$ | $\dfrac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
Пример. В треугольнике $ABC$ угол $C = 90^\circ$, $AB = 10$, $\sin A = 0{,}6$. Тогда $BC = AB\sin A = 6$, $AC = \sqrt{100 - 36} = 8$, $\cos A = 0{,}8$, $\tg A = \dfrac68 = 0{,}75$.
Проверь себя. В прямоугольном треугольнике гипотенуза $AB = 20$, $\sin A = 0{,}3$. Найдите катет $BC$, противолежащий углу $A$.
Ответ: 6
Единичная окружность и значения
На единичной окружности точка, повёрнутая на угол $\alpha$ от точки $(1;\,0)$, имеет координаты $(\cos\alpha;\,\sin\alpha)$. Радианы: $\pi\ \text{рад} = 180^\circ$, $\dfrac{\pi}{6} = 30^\circ$, $\dfrac{\pi}{4} = 45^\circ$, $\dfrac{\pi}{3} = 60^\circ$, $\dfrac{\pi}{2} = 90^\circ$.
| $\alpha$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ |
| $\cos\alpha$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
Знаки по четвертям: синус положителен в I и II четвертях (верхняя половина), косинус — в I и IV (правая половина), тангенс — в I и III.
Основные формулы и формулы приведения (ЕГЭ №7)
Формулы приведения — правило из двух вопросов для $\sin(\pi \pm \alpha)$, $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right)$ и т. п.:
- Меняется ли функция? От $\pi$ и $2\pi$ (горизонтальная ось) — нет; от $\dfrac{\pi}{2}$ и $\dfrac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось) — синус меняется на косинус и наоборот, тангенс — на котангенс.
- Какой знак? Считаем $\alpha$ острым, смотрим, в какую четверть попал угол, и ставим знак исходной функции в этой четверти.
Пример. $\dfrac{14\sin 19^\circ}{\sin 341^\circ}$. $\sin 341^\circ = \sin(360^\circ - 19^\circ) = -\sin 19^\circ$ (IV четверть, синус отрицателен). Значение: $\dfrac{14\sin 19^\circ}{-\sin 19^\circ} = -14$.
Логарифмы
Пример. $\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2 8 = 3$. $\ 9^{\log_3 7} = (3^2)^{\log_3 7} = \left(3^{\log_3 7}\right)^2 = 49$. $\ \dfrac{\log_7 27}{\log_7 3} = \log_3 27 = 3$.
Проверь себя. Вычислите $\log_3 81$.
Ответ: 4
Показательные и логарифмические уравнения (ЕГЭ №6)
- $2^{x-3} = 16 = 2^4 \Rightarrow x - 3 = 4$, $x = 7$.
- $\left(\dfrac13\right)^{x-8} = 9 \Rightarrow 3^{-(x-8)} = 3^2 \Rightarrow 8 - x = 2$, $x = 6$.
- $\log_2(x + 3) = 4 \Rightarrow x + 3 = 16$, $x = 13$.
- $\log_5(4 - x) = 2 \Rightarrow 4 - x = 25$, $x = -21$ (отрицательный $x$ допустим: важно лишь, что $4 - x \gt 0$).
Графики $y = 2^x$ и $y = \log_2 x$ симметричны относительно прямой $y = x$: это взаимно обратные функции. Постройте их в лаборатории и сравните с $y = \left(\frac12\right)^x$.
Интерактив «Графики функций» — открыть в тренажёре →
Тригонометрические уравнения (ЕГЭ №13)
Задание 13 состоит из двух пунктов: а) решить уравнение; б) отобрать корни на отрезке — по единичной окружности или двойным неравенством для $n$. Типичный приём — свести всё к одной функции через $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и сделать замену.
Пример. $2\sin^2 x - 3\cos x - 3 = 0$, корни на $\left[\pi;\,\dfrac{5\pi}{2}\right]$.
а) $2(1 - \cos^2 x) - 3\cos x - 3 = 0 \iff 2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0$, откуда $\cos x = -1$ или $\cos x = -\dfrac12$. Решения: $x = \pi + 2\pi n$, $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
б) На окружности отрезок $\left[\pi;\,\dfrac{5\pi}{2}\right]$ — дуга от точки $\pi$ через $\dfrac{3\pi}{2}$ и $2\pi$ до $\dfrac{5\pi}{2}$ (три четверти оборота). В него попадают $x = \pi$ и $x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{4\pi}{3}$; точка $\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{8\pi}{3}$ уже больше $\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{15\pi}{6}$, ведь $\dfrac{8\pi}{3} = \dfrac{16\pi}{6}$. Ответ б): $\pi;\ \dfrac{4\pi}{3}$.