Таблица производных и правила
| Функция | Производная | Функция | Производная |
|---|---|---|---|
| $C$ | $0$ | $\sin x$ | $\cos x$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\sqrt x$ | $\dfrac{1}{2\sqrt x}$ | $\tg x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ |
| $\dfrac1x$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac1x$ | $a^x$ | $a^x\ln a$ |
Пример. $y = (2x - 1)^5$: $y' = 5(2x - 1)^4\cdot 2 = 10(2x - 1)^4$. $y = \ln(x + 7)$: $y' = \dfrac{1}{x + 7}$. $y = e^{3x}$: $y' = 3e^{3x}$.
Проверь себя. Найдите $f'(2)$, если $f(x) = x^3 - 4x$.
Ответ: 8
Геометрический и физический смысл
- Касательная параллельна прямой $y = kx + b$ ⇔ $f'(x_0) = k$. Параллельна оси $Ox$ ⇔ $f'(x_0) = 0$.
- Если на рисунке касательная проходит через узлы сетки $(x_1;\,y_1)$ и $(x_2;\,y_2)$, то $f'(x_0) = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Касательная «идёт вниз» слева направо — производная отрицательна.
Физический смысл: производная — скорость изменения величины. Если $x(t)$ — координата, то $v(t) = x'(t)$ — скорость, $a(t) = v'(t)$ — ускорение.
Пример. Точка движется по закону $x(t) = t^3 - 6t^2 + 5$ (м). Скорость $v(t) = 3t^2 - 12t$, в момент $t = 5$ с: $v = 75 - 60 = 15$ м/с.
Как читать графики f и f′ (ЕГЭ №8)
| Что спрашивают про $f$ | Если дан график $f$ | Если дан график $f'$ |
|---|---|---|
| где $f$ возрастает | где график идёт вверх | где $f'$ выше оси $Ox$ |
| точки экстремума | «вершины» и «впадины» графика | нули $f'$, в которых она меняет знак |
| где $f'(x) \lt 0$ | где график идёт вниз | где $f'$ ниже оси |
| касательная параллельна $y = kx + b$ | — | точки, где $f'(x) = k$ |
Постройте в лаборатории параболу $y = x^2 - 4x + 3$ и прямую $y = 2x - 4$ — её производную. Там, где прямая ниже оси $Ox$ ($x \lt 2$), парабола убывает; где выше — возрастает; нуль производной $x = 2$ — вершина параболы, точка минимума.
Интерактив «Графики функций» — открыть в тренажёре →
Монотонность и экстремумы
1) найти область определения;
2) найти $f'(x)$ и точки, где $f'(x) = 0$ или не существует (критические);
3) расставить знаки $f'$ на интервалах;
4) «$+$» — возрастает, «$-$» — убывает; смена знака с $+$ на $-$ — максимум, с $-$ на $+$ — минимум.
Пример. $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$. $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$. Знаки: $+$ при $x \lt -1$, $-$ на $(-1;\,3)$, $+$ при $x \gt 3$.
$x = -1$ — точка максимума, $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 1 = 6$; $x = 3$ — точка минимума, $f(3) = 27 - 27 - 27 + 1 = -26$.
Наибольшее и наименьшее значение на отрезке (ЕГЭ №12)
1) найти критические точки, лежащие внутри отрезка;
2) вычислить значения функции в этих точках и на концах $a$ и $b$;
3) выбрать наибольшее (наименьшее) из этих чисел.
Пример. Наименьшее значение $y = x^3 - 3x + 4$ на $[0;\,2]$. $y' = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$, в отрезок попадает только $x = 1$. $y(0) = 4$, $y(1) = 2$, $y(2) = 6$. Наименьшее значение $2$, наибольшее $6$.
Первообразная — коротко
$F(x)$ — первообразная для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$. Все первообразные отличаются на константу: $F(x) + C$.
| $f(x)$ | $x^n\ (n \ne -1)$ | $\dfrac1x$ | $e^x$ | $\sin x$ | $\cos x$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $F(x)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$ | $\ln|x|$ | $e^x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ |
В задании 8 ЕГЭ встречаются два сюжета: дан график первообразной $F$ — найти число нулей $f$ (это точки, где у $F$ горизонтальная касательная: вершины и впадины); дана формула $F$ — найти площадь фигуры под графиком $f$.
Проверь себя. Найдите площадь фигуры под графиком $y = 2x$ на отрезке $[1;\,3]$ (первообразная $F(x) = x^2$).
Ответ: 8