Решать задания
Математика · тема 10 из 21 · ОГЭ № 1–5, 9 · ЕГЭ № 9, 10, 16

Проценты: пропорция, сложные проценты, вклады

Проценты встречаются в каждом варианте: от скидок в практической части ОГЭ до вкладов и кредитов в задании 16 ЕГЭ. Всё держится на одной идее — множителе.

12 мин чтенияОГЭЕГЭ22 задания

Коротко

главное за 30 секунд
  1. $p\%$ от числа $A$ — это $A\cdot\dfrac{p}{100}$; целое по части: $A=\dfrac{\text{часть}\cdot100}{p}$
  2. Рост на $p\%$ — умножение на $1+\dfrac{p}{100}$, снижение — на $1-\dfrac{p}{100}$
  3. Несколько изменений подряд — множители перемножаются, проценты не складываются
  4. Сложные проценты: $S=S_0\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$
  5. В задачах на кредит и вклад пишите остаток по шагам: «начислили — заплатили»

Процент — это сотая часть, а задача — пропорция

Один процент — это $\dfrac{1}{100}$ числа. Любая задача «найти часть», «найти целое», «сколько процентов» решается одной пропорцией: целое соответствует $100\%$, часть — искомым процентам.

$$\frac{\text{часть}}{\text{целое}}=\frac{p}{100}.$$

Часть: $\text{часть}=\text{целое}\cdot\dfrac{p}{100}$. Целое: $\text{целое}=\dfrac{\text{часть}\cdot100}{p}$. Процент: $p=\dfrac{\text{часть}}{\text{целое}}\cdot100$.

Пример. Тетрадь стоила 40 руб., а стала стоить 50 руб. На сколько процентов выросла цена?

Изменение $50-40=10$ руб. — это часть, а целое — старая цена: $\dfrac{10}{40}\cdot100=25\%$.

В вопросе «на сколько процентов больше (меньше)» за $100\%$ берут то, с чем сравнивают. Если 50 больше 40 на $25\%$, то 40 меньше 50 на $20\%$ — это разные числа.
Проверь себя. Сколько рублей составляют $15\%$ от 400 руб.?

Ответ: 60

было 40, стало 50: на сколько процентов выросла цена? 100% — это 4040 руб. = 100%10 = 25%цена вырослана 25%на сколько процентов 40 меньше 50? 100% — это 5050 руб. = 100%10 = 20%40 меньше 50на 20%часть : целое = p : 100
Рис. 1. За 100% берут то, с чем сравнивают: 10 руб. — это 25% от 40 руб., но только 20% от 50 руб.

Изменение на p процентов — это умножение

Вместо «прибавить процент» умножайте на множитель. Это быстрее и не даёт запутаться, когда изменений несколько.

Рост на $p\%$: $\times\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$. Снижение на $p\%$: $\times\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$.
Например, $+20\%\to\times1{,}2$; $-30\%\to\times0{,}7$; $+100\%\to\times2$.

Пример. Цену повысили на $20\%$, а потом снизили на $20\%$. Как изменилась цена?

Итоговый множитель: $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$. Цена стала на $4\%$ ниже первоначальной, а не такой же.

Проценты, взятые от разных величин, нельзя складывать: $+20\%$ и $-20\%$ дают не $0\%$, а $-4\%$. При двух скидках $20\%$ и $25\%$ общая скидка — не $45\%$, а $1-0{,}8\cdot0{,}75=40\%$.
Проверь себя. Товар после подорожания на $25\%$ стоит 1500 руб. Сколько он стоил до подорожания?

Ответ: 1200

100100 руб.120 руб.96 руб.× 1,2+20%× 0,8−20% от 120итог: × 1,2 · 0,8 = × 0,96, то есть −4%
Рис. 2. +20%, затем −20%: 100 → 120 → 96. Множители перемножаются: 1,2 · 0,8 = 0,96 — цена упала на 4%

Сложные проценты и вклады

Если проценты начисляются каждый год на всю накопленную сумму (с прошлыми процентами), вклад растёт в геометрической прогрессии со знаменателем $1+\dfrac{p}{100}$.

$$S_n=S_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n.$$

Простые проценты (начисляются только на первоначальную сумму): $S_n=S_0\left(1+\dfrac{p\,n}{100}\right)$ — рост линейный.

Пример. Вклад 50 000 руб. под $8\%$ годовых с капитализацией. Сколько будет через 2 года?

$50\,000\cdot1{,}08^2=50\,000\cdot1{,}1664=58\,320$ руб.

Считайте по шагам: $1{,}08^2=1{,}08\cdot1{,}08$. Для трёх лет и $10\%$ полезно помнить $1{,}1^3=1{,}331$, для двух лет и $20\%$ — $1{,}2^2=1{,}44$.
Проверь себя. Вклад 200 000 руб. под $10\%$ годовых с капитализацией. Сколько рублей будет на счёте через 3 года?

Ответ: 266200

01234590100110120130140150160n, летS161,05150сложные: 100 · 1,1ⁿпростые: 100 + 10n
Рис. 3. Вклад 100 под 10%: простые проценты добавляют по 10 каждый год (прямая), сложные умножают на 1,1 (геометрическая прогрессия) — через 5 лет 150 против 161,05

Кредиты и вклады с выплатами (задание 16 ЕГЭ)

В экономической задаче каждый год повторяется одна и та же пара действий: банк начислил проценты (умножили на $r=1+\dfrac{p}{100}$), затем заёмщик внёс платёж (вычли $x$). Записывайте остаток после каждого шага.

Остаток после $k$-го года: $S_k=S_{k-1}\cdot r-x$.
Долг погашен полностью, когда после последнего платежа $S_n=0$.

Пример. Кредит $S$ под $10\%$ годовых погашают двумя равными платежами $x$ в конце года. Найдите $x$ через $S$.

После 1-го года: $1{,}1S-x$. После 2-го: $1{,}1(1{,}1S-x)-x=0$, то есть $1{,}21S=2{,}1x$, откуда $x=\dfrac{1{,}21S}{2{,}1}$.

Различайте кредит и вклад: у кредита платёж уменьшает долг, у вклада снятие уменьшает сумму на счёте, а проценты растут. Схема одна и та же, меняется только смысл «нуля» в конце.
1-й годS× 1,1проценты1,1S− xплатёж1,1S − x2-й год1,1S − x× 1,1проценты1,21S − 1,1x− xплатёж1,21S − 2,1x = 0долг погашен: 1,21S = 2,1x, откуда x = 1,21S / 2,1
Рис. 4. Кредит под 10%: каждый год сначала долг умножают на 1,1, затем вычитают платёж x; после последнего платежа долг равен нулю
Практика

Закрепите тему: 22 задания для ОГЭ и ЕГЭ

От простых к сложным: базовый уровень — 8, повышенный — 11, высокий — 3. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.

Решать задания по теме Флеш-карточки