Решать задания
Математика · тема 14 из 21 · ОГЭ № 15 · ЕГЭ № 1, 17

Треугольник: медиана, биссектриса, высота, средняя линия, подобие

Замечательные отрезки и точки треугольника: что они делят, во что превращаются в равнобедренном и прямоугольном треугольниках и как подобие даёт пропорции.

14 мин чтенияОГЭЕГЭ22 задания

Коротко

главное за 30 секунд
  1. Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины
  2. Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам: $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$
  3. Средняя линия параллельна основанию и равна его половине
  4. Подобие с коэффициентом $k$: длины — в $k$ раз, площади — в $k^2$ раз
  5. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы

Медиана, биссектриса, высота

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Биссектриса делит угол пополам. Высота — перпендикуляр из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону.

Медианы пересекаются в точке $O$ (центр масс) и делятся ею как $2:1$ от вершины: $AO=\dfrac23AM$, $OM=\dfrac13AM$.
Биссектриса $AD$: $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$.
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота к основанию — один отрезок.

Пример. В $\triangle ABC$: $AB=6$, $AC=9$, $BC=10$, $AD$ — биссектриса. Найдите $BD$.

$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac69=\dfrac23$, поэтому $BD=\dfrac25\cdot10=4$.

Высота тупоугольного треугольника падает на продолжение стороны и лежит вне треугольника. Точка пересечения высот у тупоугольного треугольника тоже вне него.
Проверь себя. Медиана $AM$ треугольника равна 15, $O$ — точка пересечения медиан. Найдите $AO$.

Ответ: 10

ABCMO21AO : OM = 2 : 1ABCD6946BD : DC = AB : AC
Рис. 1. Слева: медианы пересекаются в точке O и делятся ею 2 : 1 от вершины. Справа: биссектриса делит сторону пропорционально прилежащим сторонам: BD : DC = 6 : 9, BD = 4, DC = 6

Средняя линия

Средняя линия соединяет середины двух сторон. В треугольнике она параллельна третьей стороне и вдвое короче её; она отсекает подобный треугольник, площадь которого — четверть исходной.

$MN\parallel AC$, $MN=\dfrac12AC$. В трапеции средняя линия $=\dfrac{a+b}{2}$ (полусумма оснований) и параллельна основаниям.

Пример. Основания трапеции 8 и 14. Средняя линия: $\dfrac{8+14}{2}=11$.

Три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника, каждый подобен исходному с коэффициентом $\dfrac12$.
Проверь себя. Средняя линия треугольника равна 7. Найдите параллельную ей сторону.

Ответ: 14

BACMNKMN ∥ ACMN = ½ AC4 равных треугольникаS(MBN) = ¼ S(ABC)трапеция: (a + b) / 2
Рис. 2. Три средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника, подобных исходному с k = 1/2: MN ∥ AC и MN = AC / 2

Подобие треугольников

Треугольники подобны, если равны два угла (первый признак), либо две стороны пропорциональны и угол между ними равен, либо три стороны пропорциональны. Тогда соответственные стороны относятся с одним коэффициентом $k$.

$\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом $k$: $\dfrac{A_1B_1}{AB}=k$, а $\dfrac{S_1}{S}=k^2$.

Пример. Прямая $MN\parallel AC$ отсекает от $\triangle ABC$ треугольник $BMN$, $BM:BA=2:3$, $S_{ABC}=36$. Найдите площадь трапеции $AMNC$.

$k=\dfrac23$, $S_{BMN}=36\cdot\dfrac49=16$, значит, $S_{AMNC}=36-16=20$.

Площади относятся как квадрат коэффициента, а не как сам коэффициент. Не путайте отношение $AM:MB=1:2$ (части стороны) с $BM:BA=2:3$ (отрезок к целой стороне).
Проверь себя. Треугольники подобны с коэффициентом 3. Площадь меньшего равна 8. Найдите площадь большего.

Ответ: 72

BACMN21S = 16S = 20k = 2/3S₁ : S = k² = 4/936 · 4/9 = 16трапеция AMNC:36 − 16 = 20
Рис. 3. MN ∥ AC отсекает подобный треугольник BMN с k = BM : BA = 2/3. Площади относятся как k² = 4/9: S(BMN) = 16 из 36, на трапецию остаётся 20

Площадь, радиусы окружностей и прямоугольный треугольник

Знание нескольких формул закрывает большинство задач.

$S=\dfrac12ah_a=\dfrac12ab\sin C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (формула Герона).
Вписанная окружность: $r=\dfrac Sp$. Описанная: $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{a}{2\sin A}$.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, $R=\dfrac c2$, медиана $m_c=\dfrac c2$.

Пример. Стороны 13, 14, 15. Найдите высоту к стороне 14.

$p=21$, $S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$. Тогда $h=\dfrac{2S}{14}=12$.

В формуле $r=\dfrac Sp$ буква $p$ — полупериметр, а не периметр. Если подставить весь периметр, радиус получится вдвое меньше.
r = 4h = 12ABC131559p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21S = √(21 · 8 · 7 · 6) = 84h = 2S / 14 = 12r = S / p = 84 / 21 = 4
Рис. 4. Треугольник 13, 14, 15: высота к стороне 14 равна 12 и делит её на 5 и 9; S = 84, p = 21, радиус вписанной окружности r = S / p = 4
Практика

Закрепите тему: 22 задания для ОГЭ и ЕГЭ

От простых к сложным: базовый уровень — 8, повышенный — 11, высокий — 3. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.

Решать задания по теме Флеш-карточки