Несколько модулей — раскрываем по промежуткам между «нулями» подмодульных выражений
1.Модуль — расстояние на прямой
Модуль числа — его расстояние до нуля, поэтому он никогда не отрицателен. Разность $x-a$ под модулем — это расстояние между точками $x$ и $a$.
$$|x|=\begin{cases}x,&x\ge0,\\-x,&x\lt0,\end{cases}\qquad |x-a|=\text{расстояние от }x\text{ до }a.$$
Пример. $|x-3|=5$ значит: точка $x$ удалена от $3$ на $5$ единиц. Это $x=3+5=8$ или $x=3-5=-2$.
$|-x|$ — это не всегда $x$ и не всегда $-x$: значение зависит от знака $x$. Уравнение $|x|=-3$ решений не имеет: расстояние не бывает отрицательным. А $\sqrt{x^2}=|x|$, а не $x$.
Рис. 1. |x − 3| = 5: ищем точки на расстоянии 5 от числа 3 — это −2 и 8
2.Уравнения с модулем
Три типовых случая.
$|f(x)|=a$, где $a\gt0$: два уравнения $f=a$ и $f=-a$.
$|f(x)|=|g(x)|$: два уравнения $f=g$ и $f=-g$.
$|f(x)|=g(x)$: два уравнения $f=\pm g$ и проверка $g(x)\ge0$.
Пример. $|x-1|=2x-5$.
Случай $x-1=2x-5$: $x=4$, тогда $2x-5=3\ge0$ — подходит. Случай $1-x=2x-5$: $x=2$, тогда $2x-5=-1\lt0$ — посторонний корень. Ответ: $4$.
Если справа стоит выражение с $x$, обязательно проверяйте, что оно неотрицательно: модуль не может равняться отрицательному числу. Это главный источник посторонних корней.
Для двух модулей, например $|x+1|+|x-4|=5$, отметьте «нули» $-1$ и $4$: они делят прямую на три промежутка, на каждом раскройте модули со своим знаком. Здесь $5$ — ровно расстояние между $-1$ и $4$, поэтому подойдут все точки отрезка $[-1;\,4]$.
Рис. 2. |x − 1| = 2x − 5: прямая пересекает «галочку» y = |x − 1| только при x = 4. Корень x = 2 — пересечение с продолжением луча y = 1 − x, он посторонний
3.Неравенства с модулем
Смысл неравенства читается по расстоянию: $|x-a|\lt b$ — «точка $x$ ближе, чем на $b$, к точке $a$», значит, лежит в интервале длины $2b$ вокруг $a$.
Пример. $|x-2|+|x+3|\lt7$. Сумма расстояний от $x$ до $2$ и до $-3$ не меньше расстояния между ними — $5$. Значит, левая часть на отрезке $[-3;2]$ всегда равна $5$, а за его пределами растёт. Она равна $7$ при $x=-4$ и $x=3$. Ответ: $(-4;\,3)$.
Для $|x-a|\gt b$ ответ — два луча, а не один отрезок. И знак «$\lt$» и «$\gt$» нельзя путать: «меньше» — ближе к центру, «больше» — дальше от него.
Проверь себя. Сколько целых решений у неравенства $|x-2|+|x+3|\lt7$?
Ответ: 6
Рис. 3. y = |x − 2| + |x + 3|: на отрезке [−3; 2] сумма расстояний равна 5, а значение 7 достигается при x = −4 и x = 3 — ответ (−4; 3)
4.Графики с модулем
График $y=|f(x)|$ получается из графика $y=f(x)$: часть, лежащая ниже оси $Ox$, зеркально отражается вверх, остальное остаётся на месте. Число корней уравнения $|f(x)|=a$ — число пересечений графика с горизонтальной прямой $y=a$.
Пример. При каком $a$ уравнение $|x^2-4|=a$ имеет ровно три корня?
График $y=|x^2-4|$ — парабола с «отражённой» частью между $-2$ и $2$; вершина отражённой части $(0;\,4)$. Прямая $y=a$ даёт три точки, когда она проходит через эту вершину: $a=4$. При $0\lt a\lt4$ корней четыре, при $a\gt4$ — два.
При $a=0$ и при $a\lt0$ считайте отдельно: $|f|=0$ — это просто $f=0$, а при $a\lt0$ решений нет.
Рис. 4. y = |x² − 4|: часть параболы под осью отражена вверх. Прямая y = a даёт 4 корня при 0 < a < 4, 3 корня при a = 4 и 2 корня при a > 4
Практика
Закрепите тему: 22 задания для ОГЭ и ЕГЭ
От простых к сложным: базовый уровень — 7, повышенный — 11, высокий — 4. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.