Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией
Угол между плоскостями — линейный угол двугранного угла (перпендикуляры к ребру в обеих плоскостях)
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра; часто проще найти его через объём
1.Как строить сечения
Сечение многогранника плоскостью — многоугольник, стороны которого лежат на гранях. Три главных приёма:
Две точки плоскости на одной грани — соединяем, получаем сторону сечения.
Плоскость пересекает две параллельные грани по параллельным отрезкам.
Если нужной точки нет, продлеваем стороны сечения до пересечения с линией ребра — получаем «след» плоскости.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость. Две плоскости пересекаются по прямой.
Пример. Сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью через точки $A$, $C$, $B_1$. Все стороны — диагонали граней: $AC=CB_1=AB_1=a\sqrt2$. Сечение — правильный треугольник.
Секущая плоскость не «проходит сквозь» грань: соединять можно только точки, лежащие на одной грани. Соединение вершин через внутренность куба не даёт сторону сечения.
Проверь себя. Чему равен угол правильного треугольника? Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
Рис. 1. Сечение куба плоскостью ACB₁: соединяем только точки, лежащие на одной грани. Все три стороны — диагонали граней, треугольник правильный
2.Сечения куба и пирамиды
У куба сечения бывают треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и шестиугольником; семиугольника не бывает — граней всего шесть.
Диагональное сечение куба $ACC_1A_1$ — прямоугольник $a\times a\sqrt2$, площадь $a^2\sqrt2$. Плоскость через середины шести рёбер $AA_1$, $AD$, $DC$, $CC_1$, $C_1B_1$, $A_1B_1$ даёт правильный шестиугольник со стороной $\dfrac{a\sqrt2}{2}$. Пирамида: сечение через вершину $S$ и диагональ основания $AC$ — треугольник $SAC$; плоскость, параллельная основанию, отсекает подобную пирамиду.
Пример. Плоскость через середины рёбер $SA$, $SB$, $SC$ пирамиды $SABC$ отсекает пирамиду, подобную исходной с $k=\dfrac12$. Объём: $k^3=\dfrac18$ исходного.
Объёмы подобных тел относятся как $k^3$, площади сечений и поверхностей — как $k^2$, длины — как $k$. Путать степень — самая частая ошибка.
Проверь себя. Площадь диагонального сечения куба равна $25\sqrt2$. Найдите объём куба.
Ответ: 125
Рис. 2. Слева: диагональное сечение ACC₁A₁ — прямоугольник a × a√2. Справа: плоскость через середины шести рёбер даёт правильный шестиугольник
3.Углы в пространстве
Любой пространственный угол сводится к углу внутри прямоугольного треугольника.
Прямая и плоскость: опустите перпендикуляр из точки прямой на плоскость; угол между прямой и её проекцией на плоскость — искомый. Две плоскости: проведите в каждой перпендикуляр к линии пересечения в одной точке; угол между ними — угол между плоскостями. Скрещивающиеся прямые: сдвиньте одну параллельно, чтобы прямые пересекались.
Пример. В кубе найдите угол между $AB_1$ и $BC_1$. Так как $AB_1\parallel DC_1$, искомый угол равен углу $DC_1B$ треугольника $DC_1B$, все стороны которого — диагонали граней. Значит, треугольник правильный, угол $60^\circ$.
Угол между прямой и плоскостью не может быть тупым: он лежит от $0^\circ$ до $90^\circ$. Угол между плоскостями тоже не больше $90^\circ$: если линейный угол получился тупым, берут смежный с ним.
Рис. 3. Угол между скрещивающимися AB₁ и BC₁: заменяем AB₁ параллельной ей DC₁. Треугольник DC₁B правильный (стороны — диагонали граней), угол 60°
4.Расстояния
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра. Если его трудно «увидеть», выразите объём пирамиды двумя способами.
$$V=\frac13S_{\text{осн}}\cdot h\ \Rightarrow\ h=\frac{3V}{S_{\text{осн}}}.$$ Для тетраэдра $DABC$ с попарно перпендикулярными рёбрами $DA=a$, $DB=b$, $DC=c$ расстояние от $D$ до плоскости $ABC$: $\dfrac1{h^2}=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}$.