Многогранники
Призма (в том числе параллелепипед и куб): $V=S_{\text{осн}}\cdot h$.
Пирамида: $V=\dfrac13S_{\text{осн}}\cdot h$.
Прямоугольный параллелепипед: $V=abc$, диагональ $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Куб: $V=a^3$, $S_{\text{пов}}=6a^2$.
Площадь поверхности — сумма площадей всех граней. Боковая поверхность прямой призмы: $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$; правильной пирамиды: $S_{\text{бок}}=\dfrac12P_{\text{осн}}\cdot l$, где $l$ — апофема (высота боковой грани).
Проверь себя. Найдите объём куба с ребром 3.
Ответ: 27
Тела вращения
| Тело | Объём | Поверхность |
|---|---|---|
| Цилиндр | $\pi R^2h$ | $S_{\text{бок}}=2\pi Rh$ |
| Конус | $\dfrac13\pi R^2h$ | $S_{\text{бок}}=\pi Rl$, $l$ — образующая |
| Шар | $\dfrac43\pi R^3$ | $S=4\pi R^2$ |
У конуса высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник: $l^2=h^2+R^2$.
Подобие тел
Пример. Жидкость в конической воронке (вершиной вниз) налита до половины высоты. Какую часть объёма воронки она занимает? Налитая жидкость — конус, подобный воронке с $k=\dfrac12$, поэтому её объём — $\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18$ объёма воронки.
Углы и расстояния (ЕГЭ №14)
Задание 14 состоит из двух пунктов: а) доказать утверждение о фигуре; б) найти угол, расстояние, площадь сечения или объём. Главные инструменты:
- угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость;
- угол между плоскостями — линейный угол двугранного угла (два перпендикуляра к линии пересечения плоскостей);
- теорема о трёх перпендикулярах;
- метод координат: ввести систему координат, найти координаты векторов и применить формулу $\cos\varphi=\dfrac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a|\cdot|\vec b|}$.
Пример. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, высота — 4. Апофема: $l=\sqrt{4^2+3^2}=5$ (3 — половина стороны основания). Боковая поверхность: $4\cdot\dfrac12\cdot6\cdot5=60$.