Треугольник: углы, Пифагор, тригонометрия
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Прямоугольный треугольник: $c^2=a^2+b^2$; $\sin A=\dfrac{a}{c}$, $\cos A=\dfrac{b}{c}$, $\tg A=\dfrac{a}{b}$, где $a$ — катет, противолежащий углу $A$, $b$ — прилежащий катет, $c$ — гипотенуза.
Полезные пифагоровы тройки: $3,4,5$; $5,12,13$; $8,15,17$; $7,24,25$ — и кратные им ($6,8,10$; $9,12,15$). Узнав тройку, вы экономите время на вычислениях.
Проверь себя. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.
Ответ: 10
Важные отрезки и подобие
- Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине.
- Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{AL}{LC}=\dfrac{AB}{BC}$.
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
- У подобных треугольников стороны пропорциональны с коэффициентом $k$, а площади относятся как $k^2$.
Площади
| Фигура | Площадь |
|---|---|
| Треугольник | $\dfrac12ah$, $\ \dfrac12ab\sin\gamma$ |
| Параллелограмм | $ah$, $\ ab\sin\alpha$ |
| Ромб | $\dfrac12d_1d_2$ (через диагонали) |
| Трапеция | $\dfrac{a+b}{2}\cdot h$ |
| Круг и сектор | $\pi R^2$, $\ \dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi R^2$ |
Пример. Стороны параллелограмма равны 6 и 10, угол между ними $30^\circ$. $S=6\cdot10\cdot\sin30^\circ=60\cdot\dfrac12=30$.
Окружность
- Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
- Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
- Четырёхугольник можно вписать в окружность, если суммы его противоположных углов равны $180^\circ$; описать около окружности — если равны суммы противоположных сторон.
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, радиус вписанной: $r=\dfrac{a+b-c}{2}$. Для любого треугольника $r=\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
Пример. Вписанный угол опирается на дугу $100^\circ$. Он равен $50^\circ$, а центральный угол, опирающийся на ту же дугу, — $100^\circ$.
Теоремы синусов и косинусов
Пример. В треугольнике $AB=3$, $AC=5$, $\angle A=120^\circ$. Тогда $BC^2=9+25-2\cdot3\cdot5\cdot\cos120^\circ=34+15=49$, $BC=7$.
Векторы и где всё это на экзамене
ЕГЭ №2 — векторы на плоскости. Если $\vec a(x_1;\,y_1)$ и $\vec b(x_2;\,y_2)$, то
Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
ОГЭ: задания 15–19 с кратким ответом (треугольники, окружность, четырёхугольники, клетчатая бумага, выбор верных утверждений) и 23–25 с развёрнутым (вычисление, доказательство, задача повышенной сложности). ЕГЭ: задание 1 с кратким ответом и задание 17 (доказательство и вычисление, 3 балла).