Решать задания
Математика · тема 19 из 21 · ОГЭ № 6, 20 · ЕГЭ № 19

Числа и их свойства: делимость, НОД и НОК, чётность, остатки

Азбука задачи 19 ЕГЭ: признаки делимости, разложение на простые множители, НОД и НОК, чётность и остатки. Всё это встречается и в ОГЭ.

14 мин чтенияОГЭЕГЭ22 задания

Коротко

главное за 30 секунд
  1. Признаки: на 2 — по последней цифре; на 3 и 9 — по сумме цифр; на 4 — по двум последним; на 5 и 10 — по последней
  2. $\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b)=a\cdot b$
  3. Число делителей $n=p_1^{k_1}\cdots p_m^{k_m}$ равно $(k_1+1)\cdots(k_m+1)$
  4. Чётность: чёт ± чёт = чёт, нечёт ± нечёт = чёт, чёт · любое = чёт
  5. Остаток: $a=bq+r$, $0\le r\lt b$; у степеней остатки и последние цифры повторяются циклом

Делимость, простые числа и признаки

Число $a$ делится на $b$, если $a=b\cdot k$ для целого $k$. Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Число 1 — не простое, число 2 — единственное чётное простое.

Делится наПризнак
2, 5, 10последняя цифра чётная, 0 или 5, 0
3, 9сумма цифр делится на 3, на 9
4число из двух последних цифр делится на 4
11разность сумм цифр на нечётных и чётных местах делится на 11
Каждое натуральное число $\gt1$ единственным образом раскладывается на простые множители. $72=2^3\cdot3^2$.

Пример. Число 7236: сумма цифр $7+2+3+6=18$ делится на 9, значит, число делится на 9 (а значит, и на 3).

Признак делимости на 6 — это два условия сразу: число чётное и сумма цифр делится на 3. Признаки на 4 и 8 смотрят на последние две и три цифры, а не на сумму цифр.
Проверь себя. Сколько натуральных делителей у числа 72? Подсказка: $72=2^3\cdot3^2$, используйте $(3+1)(2+1)$.

Ответ: 12

728924332272 = 2³ · 3²×124811248336122499183672делители: 2ⁱ · 3ʲ4 · 3 = 12 делителей(3 + 1)(2 + 1) = 12
Рис. 1. Дерево разложения: 72 = 2³ · 3². Делители 72 — числа вида 2ⁱ · 3ʲ (i = 0…3, j = 0…2): таблица 4 × 3 даёт 12 делителей

НОД и НОК

НОД — наибольшее число, на которое делятся оба числа; НОК — наименьшее число, которое делится на оба. Через разложение: НОД — общие простые множители в наименьшей степени, НОК — все множители в наибольшей степени.

$$\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b)=a\cdot b.$$ Алгоритм Евклида: $\text{НОД}(a,b)=\text{НОД}(b,\ a\bmod b)$.

Пример. $12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$. НОД $=2\cdot3=6$, НОК $=2^2\cdot3^2=36$. Проверка: $6\cdot36=216=12\cdot18$.

Если известны НОД и НОК и одно число, второе находят так: $b=\dfrac{\text{НОД}\cdot\text{НОК}}{a}$. Например, при НОД $=12$, НОК $=180$, $a=36$ получаем $b=\dfrac{12\cdot180}{36}=60$.
Проверь себя. Найдите НОД чисел 84 и 126.

Ответ: 42

223312 = 2 · 2 · 318 = 2 · 3 · 3общие множителиНОД = 2 · 3 = 6НОК = 2 · 2 · 3 · 3 = 36НОД · НОК = 6 · 36 = 21612 · 18 = 216
Рис. 2. НОД — произведение общих простых множителей (2 · 3 = 6), НОК — произведение всех множителей без повтора общих (2 · 2 · 3 · 3 = 36)

Чётность и остатки

Часто ответ можно узнать, не вычисляя число: достаточно знать его остаток. Любое число можно записать как $a=bq+r$, где $r$ — остаток. При сложении и умножении остатки складываются и умножаются (с последующим взятием остатка).

Чётность: $2k$ — чётное, $2k+1$ — нечётное. Сумма двух нечётных чётна, произведение двух нечётных нечётно. Остатки степеней повторяются: последняя цифра $7^n$ идёт циклом $7;\,9;\,3;\,1$ с периодом 4.

Пример. Последняя цифра $7^{2025}$. $2025=4\cdot506+1$, значит, последняя цифра такая же, как у $7^1$, то есть 7.

Остаток всегда неотрицателен и меньше делителя: $-1$ при делении на 5 даёт остаток 4, а не $-1$. И не путайте «остаток 0» с «нет остатка» — это одно и то же: число делится нацело.
Проверь себя. Найдите остаток от деления $5^{100}$ на 3. (Подсказка: $5\equiv2\pmod 3$, $2^2\equiv1$.)

Ответ: 1

×7×7×7×777¹ = 797² = 4937³ = 34317⁴ = 2401последние цифры 7ⁿ:7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, …период 42025 = 4 · 506 + 1остаток 1 → как у 7¹ответ: 7
Рис. 3. Последняя цифра 7ⁿ повторяется с периодом 4: 7, 9, 3, 1. Так как 2025 = 4 · 506 + 1, у 7²⁰²⁵ последняя цифра та же, что у 7¹, — это 7

Приёмы задачи 19: перебор, оценка и пример

В заданиях «Найдите все числа, для которых…» ищут закономерность и доказывают, что других нет. Рабочие приёмы:

  • перейти к арифметической прогрессии для «чисел с заданным остатком»;
  • использовать чётность и остатки, чтобы показать, что решение невозможно;
  • дать пример, если нужно показать, что ответ достигается.

Пример. Сколько существует трёхзначных чисел, кратных 7? Наименьшее — 105, наибольшее — 994. Количество: $\dfrac{994-105}{7}+1=128$. Или так: $\left\lfloor\dfrac{999}{7}\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{99}{7}\right\rfloor=142-14=128$.

Наименьшее число с остатками 1 при делении на 4, 6 и 9 — это НОК$(4,6,9)+1=37$, а не НОК$(4,6,9)=36$ и не произведение $4\cdot6\cdot9+1$.
кратные 4кратные 6кратные 90102030403637НОК(4, 6, 9) = 36, нужное число 36 + 1 = 37
Рис. 4. Числа, кратные 4, 6 и 9 одновременно, — это кратные НОК(4, 6, 9) = 36. Остаток 1 от деления на все три даёт число 36 + 1 = 37
Практика

Закрепите тему: 22 задания для ОГЭ и ЕГЭ

От простых к сложным: базовый уровень — 6, повышенный — 13, высокий — 3. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.

Решать задания по теме Флеш-карточки