Решать задания
Математика · тема 11 из 21 · ОГЭ № 14 · ЕГЭ № 10, 19

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Два вида последовательностей, у которых есть простые формулы n-го члена и суммы. В ОГЭ это задание 14, в ЕГЭ прогрессии прячутся в текстовых задачах и в задаче 19.

12 мин чтенияОГЭЕГЭ22 задания

Коротко

главное за 30 секунд
  1. Арифметическая: $a_n=a_1+d(n-1)$, $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$
  2. Геометрическая: $b_n=b_1q^{n-1}$, $S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$, $q\ne1$
  3. Бесконечно убывающая ($|q|\lt1$): $S=\dfrac{b_1}{1-q}$
  4. Свойство: $a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$, $\;b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$
  5. Если известны два члена, сначала найдите разность $d$ (или знаменатель $q$)

Арифметическая прогрессия: шаг d

В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа $d$ — разности. Точки $(n;a_n)$ лежат на одной прямой.

$$a_n=a_1+d(n-1),\qquad d=a_{n+1}-a_n,\qquad S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$

Сумма — это «среднее из первого и последнего, умноженное на количество членов».

Пример. $a_1=4$, $d=2$. Найдите $a_{10}$ и $S_{10}$.

$a_{10}=4+2\cdot9=22$, $S_{10}=\dfrac{4+22}{2}\cdot10=130$.

Если $k+m=p+q$, то $a_k+a_m=a_p+a_q$. Поэтому $a_3+a_8=a_5+a_6$, а сумма членов, равноудалённых от концов, одинакова — на этом построен приём Гаусса.
Проверь себя. Арифметическая прогрессия: $a_1=-5$, $d=3$. Найдите $a_{12}$.

Ответ: 28

123456246810121416naₙ+24+26+28+210+21214aₙ = 4 + 2(n − 1)
Рис. 1. Арифметическая прогрессия aₙ = 4 + 2(n − 1): каждый шаг +2, поэтому точки (n; aₙ) лежат на одной прямой
4226208181016121414121610188206224aₙв каждом столбике4 + 22 = 6 + 20 = … = 262S = 26 · 10 = 260S₁₀ = 130синие — прогрессия,красные — она же наоборот
Рис. 2. Приём Гаусса: две одинаковые «лесенки» 4, 6, …, 22 складываются в прямоугольник 10 × 26, поэтому S₁₀ = 26 · 10 / 2 = 130

Геометрическая прогрессия: множитель q

В геометрической прогрессии каждый член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q\ne0$ — знаменатель. Члены растут (или убывают) «в разы», а не «на столько-то».

$$b_n=b_1q^{n-1},\qquad q=\frac{b_{n+1}}{b_n},\qquad S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\ (q\ne1).$$

Если $|q|\lt1$, сумма бесконечно убывающей прогрессии: $S=\dfrac{b_1}{1-q}$.

Пример. $b_2=6$, $b_5=162$. Найдите $b_1$.

$\dfrac{b_5}{b_2}=q^3=27$, значит $q=3$, $b_1=\dfrac{6}{3}=2$.

Знаменатель может быть отрицательным: $5;\,-10;\,20;\,-40$ — геометрическая прогрессия с $q=-2$. А последовательность $1;\,4;\,9;\,16$ — не прогрессия вообще ($4/1\ne9/4$).
Проверь себя. Геометрическая прогрессия: $b_1=-2$, $q=3$. Найдите $b_5$.

Ответ: -162

2b₁×36b₂×318b₃×354b₄×3162b₅три шага: q³ = 162 : 6 = 27q = 3, b₁ = 6 : 3 = 2
Рис. 3. Геометрическая прогрессия 2; 6; 18; 54; 162: каждый член в 3 раза больше предыдущего. От b₂ до b₅ три шага, поэтому q³ = 162 : 6 = 27

Как распознать прогрессию и не ошибиться

Проверка занимает секунды. Если в ряду разности соседних членов одинаковы — прогрессия арифметическая; если одинаковы отношения — геометрическая.

АрифметическаяГеометрическая
Шаг$+d$$\cdot q$
Формула члена$a_1+d(n-1)$$b_1q^{n-1}$
Средний член$a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$
Пример$2;\,5;\,8;\,11$$3;\,6;\,12;\,24$

Пример. В арифметической прогрессии $a_3=10$, $a_8=-5$. Найдите $a_{20}$.

$a_8-a_3=5d=-15$, $d=-3$. Тогда $a_{20}=a_3+17d=10-51=-41$.

Различайте номер и значение: «сумма первых 10 членов» — это $S_{10}$, а не $a_{10}$. И не путайте $a_n$ с суммой $S_n$: в задании ОГЭ №14 часто спрашивают именно сумму.
2+35+38+311разности равныарифметическая, d = 33×26×212×224отношения равныгеометрическая, q = 2
Рис. 4. Одинаковые разности соседних членов — арифметическая прогрессия (+3), одинаковые отношения — геометрическая (×2)

Прогрессии в текстовых задачах и суммы с условием

Признаки прогрессии в тексте: «каждый следующий день на столько же больше» — арифметическая; «каждый год в одно и то же число раз» или «на один и тот же процент» — геометрическая.

Числа, кратные $m$ и лежащие между границами, образуют арифметическую прогрессию с $d=m$. Чтобы найти их количество, определите первый и последний член и решите $a_n=a_1+d(n-1)$ относительно $n$.

Пример. Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 7.

Первое: 14, последнее: 98, $d=7$. Число членов: $\dfrac{98-14}{7}+1=13$. $S=\dfrac{14+98}{2}\cdot13=728$.

Число членов — это $\dfrac{a_n-a_1}{d}+1$, а не $\dfrac{a_n-a_1}{d}$: считайте оба конца. Проверьте на маленьком примере: числа $3;\,5;\,7$ — три члена, хотя $\dfrac{7-3}{2}=2$.
Проверь себя. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $12;\,4;\,\dfrac43;\,\ldots$

Ответ: 18

двузначные числа, кратные 71412122833544254965676387097710841191129813чисел (98 − 14) : 7 + 1 = 13 — считаем оба конца
Рис. 5. Двузначные числа, кратные 7: от 14 до 98 с шагом 7. Промежутков (98 − 14) : 7 = 12, а чисел на одно больше — 13
Практика

Закрепите тему: 22 задания для ОГЭ и ЕГЭ

От простых к сложным: базовый уровень — 6, повышенный — 13, высокий — 3. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.

Решать задания по теме Флеш-карточки