Математика · тема 12 из 21 · ОГЭ № 13, 20 · ЕГЭ № 15
Неравенства: линейные, квадратные, дробные, системы
Один алгоритм на все случаи: привести к нулю, найти нули, расставить знаки на числовой прямой и выписать нужные промежутки.
15 мин чтенияОГЭЕГЭ22 задания
Коротко
главное за 30 секунд
При умножении и делении на отрицательное число знак неравенства меняется
Квадратное $ax^2+bx+c\gt0$: смотрим на корни и ветви параболы
Дробное неравенство нельзя умножать на знаменатель — переносим всё влево и применяем метод интервалов
Нули знаменателя всегда выколоты; нули числителя закрашены только при нестрогом знаке
Система — пересечение решений, совокупность — их объединение
1.Линейные неравенства и запись ответа
Решаем как уравнение, но следим за знаком. Ответ — числовой промежуток: круглая скобка у строгого знака и у бесконечности, квадратная — у нестрогого.
$ax\gt b$: при $a\gt0$ получаем $x\gt\dfrac ba$; при $a\lt0$ знак меняется: $x\lt\dfrac ba$.
Пример. $3x-7\ge5x+1$.
$-2x\ge8$; делим на $-2$ и меняем знак: $x\le-4$. Ответ: $(-\infty;\,-4]$.
Самая частая потеря балла — забытая смена знака при делении на отрицательное число. Проверяйте ответ подстановкой любой точки из полученного промежутка в исходное неравенство.
Проверь себя. Найдите наибольшее целое решение неравенства $2x-3\gt5x+5$.
Ответ: -3
Рис. 1. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Нестрогий знак — точка закрашена и скобка квадратная, строгий — точка выколота и скобка круглая
2.Квадратные неравенства
Найдите корни $x_1\lt x_2$ трёхчлена, представьте параболу и посмотрите, где она выше или ниже оси $Ox$.
Для $a\gt0$: $ax^2+bx+c\lt0$ — между корнями $(x_1;\,x_2)$; $ax^2+bx+c\gt0$ — вне корней $(-\infty;\,x_1)\cup(x_2;\,+\infty)$. Для нестрогих знаков корни входят в ответ.
Пример. $x^2-x-6\lt0$.
Корни: $x=-2$ и $x=3$. Парабола направлена вверх, значит, ниже оси она между корнями: $(-2;\,3)$.
Не делите обе части на $x$: неравенство $x^2\gt4x$ нельзя «сократить» на $x$ — вы потеряете решения с $x\lt0$. Переносите: $x(x-4)\gt0$, тогда $x\lt0$ или $x\gt4$.
Проверь себя. Сколько целых решений у неравенства $x^2-2x-8\le0$?
Ответ: 7
Рис. 2. x² − x − 6 < 0: парабола с ветвями вверх лежит ниже оси Ox между корнями −2 и 3 — ответ (−2; 3)
3.Дробно-рациональные неравенства: метод интервалов
Правило одно: справа должен стоять ноль. Затем найдите нули числителя и знаменателя, отметьте их на прямой и расставьте знаки — они чередуются, если корень встречается нечётное число раз.
$\dfrac{f(x)}{g(x)}\lt0\iff f(x)\cdot g(x)\lt0$ (при $g(x)\ne0$). Нули знаменателя всегда выколоты.
Пример. $\dfrac{(x-1)(x-3)}{x-2}\lt0$.
Нули: $1;\,2;\,3$. При $x\gt3$ выражение положительно, далее знаки чередуются: $(2;3)$ — минус, $(1;2)$ — плюс, $(-\infty;1)$ — минус. Ответ: $(-\infty;\,1)\cup(2;\,3)$.
Сокращать дробь на общий множитель можно, но запомните, что точка из сокращённого множителя остаётся выколотой: в $\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x-1)(x-3)}$ число $3$ не входит в ответ, хотя после сокращения его «не видно».
Проверь себя. Найдите сумму целых решений неравенства $\dfrac{x-5}{x+2}\le0$.
Ответ: 14
Рис. 3. (x − 1)(x − 3) / (x − 2) < 0: нули 1, 2, 3 выколоты, справа знак «+», дальше знаки чередуются — ответ (−∞; 1) ∪ (2; 3)
4.Системы и совокупности
Каждое неравенство системы решают отдельно, потом находят общую часть промежутков — на числовой прямой это места, где закрашены обе штриховки. Для совокупности (знак «или») промежутки объединяют.
Система $\begin{cases}f\gt0,\\ g\le0\end{cases}$ — пересечение $\;\cap\;$. Совокупность $\left[\begin{array}{l}f\gt0,\\ g\le0\end{array}\right.$ — объединение $\;\cup\;$.