Параметр — это «число-невидимка»: надо описать решение при каждом его значении. Начинаем с линейных и квадратных уравнений и с графического метода.
15 мин чтенияЕГЭ22 задания
Коротко
главное за 30 секунд
Сначала выясняем, при каких значениях параметра меняется вид уравнения (коэффициент при старшей степени равен 0)
Линейное $ax=b$: $a\ne0$ — один корень; $a=0,\ b=0$ — бесконечно много; $a=0,\ b\ne0$ — нет корней
Квадратное: число корней задаёт знак $D=b^2-4ac$
Графический метод: уравнение $f(x)=a$ — пересечение графика с горизонтальной прямой $y=a$
Если корни «симметричны» ($x$ и $-x$), единственный корень возможен только при $x=0$
1.Что такое параметр и линейное уравнение
В уравнении с параметром буква $a$ — тоже число, но заранее неизвестное. Надо «пройти» по всем значениям $a$ и для каждого сказать, сколько корней и каких.
$ax=b$: если $a\ne0$, то $x=\dfrac ba$; если $a=0$ и $b=0$ — любое $x$; если $a=0$ и $b\ne0$ — корней нет.
Пример. $(a-3)x=a^2-9$. При $a\ne3$ единственный корень $x=\dfrac{a^2-9}{a-3}=a+3$. При $a=3$ получаем $0\cdot x=0$ — верно при любом $x$, корней бесконечно много.
Делить обе части на выражение с параметром можно, только убедившись, что оно не равно нулю. Значение параметра, при котором оно обнуляется, разбирают отдельно — это почти всегда «особый» случай.
Проверь себя. При каком $a$ уравнение $(a-2)x=5$ не имеет корней?
Ответ: 2
Рис. 1. Линейное уравнение ax = b: сначала проверяем, не равен ли нулю коэффициент при x, и только потом делим
2.Квадратное уравнение с параметром
Для $ax^2+bx+c=0$ число корней определяет дискриминант — но только при $a\ne0$! Если старший коэффициент содержит параметр, сначала проверьте, при каком $a$ он обращается в ноль.
$D\gt0$ — два различных корня; $D=0$ — один корень; $D\lt0$ — корней нет. Теорема Виета: $x_1+x_2=-\dfrac ba$, $x_1x_2=\dfrac ca$ — с её помощью задают условия «корни разных знаков» ($c/a\lt0$), «оба положительны» ($c/a\gt0$, $-b/a\gt0$).
Пример. При каком $a$ уравнение $x^2-6x+a=0$ имеет ровно один корень? $D=36-4a=0$, $a=9$ (корень $x=3$).
Уравнение $(a-1)x^2+2x+1=0$ при $a=1$ вообще не квадратное: $2x+1=0$, один корень. Если сразу считать дискриминант, случай $a=1$ потеряется.
Проверь себя. При каком $a$ уравнение $x^2-6x+a=0$ имеет ровно один корень?
Ответ: 9
Рис. 2. y = x² − 6x + a: при a < 9 (D > 0) парабола пересекает ось дважды, при a = 9 (D = 0) касается её в точке x = 3, при a > 9 (D < 0) корней нет
3.Графический метод
Часто уравнение удаётся записать в виде $f(x)=a$. Тогда постройте график $y=f(x)$ и проведите горизонтальные прямые $y=a$. Число точек пересечения — число корней при данном $a$.
Двигайте прямую $y=a$ снизу вверх и фиксируйте, когда число пересечений меняется: это происходит на уровнях вершин, «горбов» и «впадин» графика.
Пример. Сколько корней у $x^2-4x=a$? График $y=x^2-4x$ — парабола с вершиной $(2;\,-4)$. При $a\lt-4$ корней нет, при $a=-4$ один, при $a\gt-4$ два.
С модулем: $|x^2-6x|=a$. Часть параболы ниже оси отражается вверх, у неё вершина $(3;\,9)$. Ровно три корня — при $a=9$ (прямая касается «горба»).
Проверь себя. При каком положительном $a$ уравнение $|x^2-6x|=a$ имеет ровно три корня?
Ответ: 9
Рис. 3. |x² − 6x| = a: нижняя часть параболы отражена вверх, получился «горб» с вершиной (3; 9). Ровно три корня — когда прямая y = a проходит через вершину, a = 9
4.Приёмы: симметрия и замена
Если уравнение содержит $x^2$, $x^4$ или $|x|$ и не содержит нечётных степеней, то вместе с корнем $x$ корнем будет и $-x$. Значит, количество корней нечётное только тогда, когда $x=0$ — корень.
Замена $t=x^2$ ($t\ge0$) превращает $x^4+px^2+q=0$ в квадратное $t^2+pt+q=0$. Каждому корню $t\gt0$ соответствуют два $x$, корню $t=0$ — один, отрицательному $t$ — ни одного.
Пример. При каком $a$ у $x^4-5x^2+a=0$ ровно три корня? Нужен корень $t=0$: $a=0$. Тогда $t^2-5t=0$, $t=0$ или $t=5$: $x=0$ и $x=\pm\sqrt5$. Действительно три корня.
После замены не забывайте условие $t\ge0$. Если оба корня по $t$ отрицательны — исходное уравнение корней не имеет, даже при $D\gt0$.
Рис. 4. Замена t = x²: каждому t > 0 соответствуют два корня x = ±√t, значению t = 0 — один корень x = 0, отрицательному t — ни одного
Практика
Закрепите тему: 22 задания для ЕГЭ
От простых к сложным: базовый уровень — 5, повышенный — 12, высокий — 5. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.