Решать задания
Математика · тема 21 из 21 · ОГЭ № 11, 18 · ЕГЭ № 8, 11

Чтение графиков и задачи на клетчатой бумаге

Как достать из рисунка числа: значения, нули, промежутки монотонности, коэффициенты прямой, площади и углы на клетчатой бумаге.

12 мин чтенияОГЭЕГЭ22 задания

Коротко

главное за 30 секунд
  1. Сначала прочитайте оси, единичный отрезок и цену деления
  2. Нули функции — пересечения с $Ox$; $f(0)$ — пересечение с $Oy$
  3. $f'\gt0$ — функция возрастает, $f'\lt0$ — убывает; экстремум — там, где $f'$ меняет знак
  4. Прямая $y=kx+b$: $k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, $b$ — точка пересечения с $Oy$
  5. Формула Пика: $S=B+\dfrac{\Gamma}{2}-1$, где $B$ — внутренние узлы, $\Gamma$ — узлы на границе

Как читать график функции

График — это множество точек $(x;\,f(x))$. Чтобы найти значение функции в точке $x_0$, идите от $x_0$ вверх/вниз до графика и затем влево/вправо до оси $Oy$.

Нули — где график пересекает $Ox$. Наибольшее и наименьшее значения — самые высокая и самая низкая точки на отрезке. Промежуток возрастания — где график идёт «в гору» слева направо.

Пример. Для параболы $y=x^2-2x-3$ нули $x=-1$ и $x=3$, значение при $x=0$ равно $-3$, наименьшее значение равно $-4$ (вершина $(1;\,-4)$). Функция убывает на $(-\infty;\,1]$ и возрастает на $[1;\,+\infty)$.

Проверьте масштаб: одна клетка может равняться не единице, а двум или 0,5. Читайте подписи на осях, а не считайте клетки «по умолчанию».
Проверь себя. Найдите наименьшее значение функции $y=x^2-2x-3$.

Ответ: -4

xy−3−2−112345−5−4−3−2−11234560y = f(x)f(4) = 5min = −4убывает ↘возрастает ↗
Рис. 1. Значение в точке: от x₀ = 4 вверх до графика, затем влево до оси Oy — f(4) = 5. Нули −1 и 3, наименьшее значение −4 в вершине (1; −4)

График производной и поведение функции

В задании 8 ЕГЭ дан график производной $f'$, а вопросы — про саму функцию $f$: где она растёт, сколько у неё экстремумов. Главное — смотреть на знак $f'$, а не на высоту графика.

$f'\gt0\Rightarrow f$ возрастает; $f'\lt0\Rightarrow f$ убывает. Точка, где $f'$ меняет знак «$+\to-$» — максимум; «$-\to+$» — минимум. Если $f'=0$, но знак не меняется — экстремума нет.

Пример. $f'\gt0$ на $(-6;\,-2)$, $f'\lt0$ на $(-2;\,3)$, $f'\gt0$ на $(3;\,6)$. Точка $-2$ — максимум, $3$ — минимум: всего два экстремума. Длина промежутка убывания: $3-(-2)=5$.

Касание оси $Ox$ графиком производной без пересечения не даёт экстремума. И не путайте: «график производной выше оси» — это возрастание функции, а не то, что сама функция положительна.
Проверь себя. $f'\gt0$ на $(-6;\,-2)$, $f'\lt0$ на $(-2;\,3)$, $f'\gt0$ на $(3;\,6)$. Сколько точек экстремума у $f$?

Ответ: 2

xy = f′(x)−6−4−2246−22460maxmin+−+f ↗f ↘f ↗
Рис. 2. Дан график f′: где он выше оси — f возрастает, ниже — убывает. Смена знака «+ → −» при x = −2 — максимум f, «− → +» при x = 3 — минимум

Клетчатая бумага: площадь, формула Пика, углы

На клетчатой бумаге вершины фигур лежат в узлах, поэтому площадь и длины считают по клеткам или по формуле Пика.

$$S=B+\frac{\Gamma}{2}-1,$$ где $B$ — число узлов строго внутри фигуры, $\Gamma$ — число узлов на её границе. Тангенс угла — отношение катетов клетчатого треугольника: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.

Пример. Многоугольник имеет 10 внутренних узлов и 8 узлов на границе. $S=10+\dfrac82-1=13$.

Если фигура — треугольник или четырёхугольник со сторонами вдоль линий сетки, площадь проще посчитать как «описанный прямоугольник минус лишние треугольники».
Проверь себя. Внутри многоугольника на клетчатой бумаге 10 узлов, на границе 8. Найдите площадь.

Ответ: 13

B = 10, Γ = 8S = 10 + 8/2 − 1 = 132,54,54S5 · 4 = 20S = 20 − 2,5 − 4,5 − 4 = 9
Рис. 3. Слева — формула Пика: S = B + Γ/2 − 1 (зелёные узлы внутри, красные на границе). Справа — площадь треугольника как прямоугольник 5 × 4 минус три прямоугольных треугольника

Коэффициенты прямой и параболы по графику

Формулу функции по графику находят так: выбирают на графике две-три «хорошие» точки (узлы сетки) и подставляют в общую формулу.

Прямая $y=kx+b$: $k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$; $k\gt0$ — возрастает, $k\lt0$ — убывает; $b\gt0$ — пересекает $Oy$ выше начала. Парабола $y=ax^2+bx+c$: $a\gt0$ — ветви вверх; $c$ — значение при $x=0$.

Пример. Прямая проходит через $(2;\,-1)$ и $(0;\,3)$. $k=\dfrac{-1-3}{2-0}=-2$, $b=3$. Уравнение $y=-2x+3$; пересечение с $Ox$: $-2x+3=0$, $x=1{,}5$.

Угловой коэффициент — это $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, а не $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$. Перепутаете — получите обратное число.
xy−2−112345−3−2−1123450Δx = 2Δy = −4(2; −1)1,5k = −4 / 2 = −2b = 3
Рис. 4. Прямая через (0; 3) и (2; −1): k = Δy / Δx = −4 / 2 = −2, b = 3 — точка пересечения с осью Oy. Уравнение y = −2x + 3, нуль x = 1,5
Практика

Закрепите тему: 22 задания для ОГЭ и ЕГЭ

От простых к сложным: базовый уровень — 7, повышенный — 13, высокий — 2. Мгновенная проверка, подсказки, подробные решения и тренажёр ошибок.

Решать задания по теме Флеш-карточки