Линейные и квадратные уравнения
Линейное уравнение $ax+b=0$ при $a\ne0$ имеет единственный корень $x=-\dfrac{b}{a}$. Квадратное $ax^2+bx+c=0$ решается через дискриминант.
$D\gt0$ — два корня, $D=0$ — один, $D\lt0$ — действительных корней нет.
Теорема Виета для $x^2+px+q=0$: $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$.
Пример. $x^2-5x+6=0$. По Виета сумма корней равна $5$, произведение — $6$: это $2$ и $3$. Проверка через дискриминант: $D=25-24=1$, $x=\dfrac{5\pm1}{2}$, то есть $2$ и $3$.
Дробно-рациональные уравнения
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Уравнение вида $\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}$ решают «крест-накрест»: $AD=BC$, помня про ограничения $B\ne0$ и $D\ne0$.
Пример. $\dfrac{x^2-9}{x-3}=0$. Нули числителя: $x=\pm3$. Но при $x=3$ знаменатель обращается в ноль, поэтому остаётся только $x=-3$.
Иррациональные уравнения
Условие $f(x)\ge0$ отдельно проверять не нужно: оно выполнится автоматически, ведь $f(x)=g^2(x)\ge0$.
Пример. $\sqrt{x+7}=x+1$. Возводим в квадрат: $x+7=x^2+2x+1$, откуда $x^2+x-6=0$, $x=2$ или $x=-3$. Условие $x+1\ge0$ отсекает $x=-3$ (правая часть была бы равна $-2$, а корень не бывает отрицательным). Ответ: $2$.
Проверь себя. Решите уравнение $\sqrt{x+3}=4$.
Ответ: 13
Неравенства и метод интервалов
Линейное неравенство решают как уравнение, но при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется: $-2x\gt6\Rightarrow x\lt-3$.
Для квадратных и дробных неравенств работает метод интервалов:
- перенести всё в одну сторону и разложить на множители;
- отметить на прямой нули числителя и знаменателя (нули знаменателя всегда выколотые);
- расставить знаки на интервалах, начиная с крайнего правого;
- выбрать промежутки с нужным знаком.
Пример. $(x-1)(x+4)\le0$. Нули: $-4$ и $1$. Знаки слева направо: $+,\ -,\ +$. Ответ: $[-4;\,1]$.
Проверь себя. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству $x^2\lt9$?
Ответ: 5
Как это выглядит на экзамене
- ОГЭ №9 — линейное или квадратное уравнение; если корней два, просят записать больший или меньший.
- ОГЭ №13 — выбрать решение неравенства из четырёх промежутков или изображений на прямой.
- ОГЭ №20 — уравнение, неравенство или система с развёрнутым решением (2 балла).
- ЕГЭ №6 — простейшее уравнение любого вида; ответ — одно число.
- ЕГЭ №15 — неравенство с развёрнутым решением (2 балла): чаще логарифмическое или показательное, но финал всегда — метод интервалов.