Дроби: порядок действий и ответ
В заданиях ОГЭ №6 и ЕГЭ №7 ответ всегда записывается целым числом или конечной десятичной дробью. Если у вас получилось $\dfrac{7}{3}$ — где-то ошибка, пересчитайте.
Порядок действий: скобки → степени и корни → умножение и деление слева направо → сложение и вычитание.
Пример. $\left(\dfrac{7}{12}-\dfrac{1}{3}\right)\cdot 3{,}2$.
$\dfrac{7}{12}-\dfrac{4}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac14$, затем $\dfrac14\cdot 3{,}2=0{,}8$. Ответ: $0{,}8$.
Проверь себя. Вычислите $1{,}2\cdot\dfrac{5}{6}$.
Ответ: 1
Степени
Почти все примеры на степени решаются одной идеей: привести к одному основанию или разложить основания на простые множители.
Пример. $\dfrac{2^{7}\cdot 3^{5}}{6^{5}}$.
$6^5=2^5\cdot 3^5$, поэтому дробь равна $\dfrac{2^7\cdot 3^5}{2^5\cdot 3^5}=2^2=4$.
$-2^4=-16$, а $(-2)^4=16$: минус без скобок в степень не возводится. Ещё две частые ошибки: $(a+b)^2\ne a^2+b^2$ и $a^m+a^n\ne a^{m+n}$ — складывать показатели можно только при умножении степеней.
Корни
Три рабочих приёма:
- вынесение множителя: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$;
- разность квадратов: $(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b$;
- объединение под один корень: $\sqrt{8}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{144}=12$.
Пример. $(\sqrt{13}-\sqrt7)(\sqrt{13}+\sqrt7)=13-7=6$.
Сравнение чисел и выражения с буквами
ОГЭ №7 — число на координатной прямой. Чтобы понять, где лежит корень, зажмите подкоренное число между соседними точными квадратами: $49\lt 58\lt 64\Rightarrow 7\lt\sqrt{58}\lt 8$.
ЕГЭ №7 часто даёт выражение с переменной, например $\dfrac{a^{5{,}6}\cdot a^{-2{,}1}}{a^{1{,}5}}$ при $a=5$. Сначала упростите, потом подставляйте: показатель равен $5{,}6-2{,}1-1{,}5=2$, значит, ответ $5^2=25$.
Пример. Что больше: $\sqrt{10}$ или $\dfrac{19}{6}$?
Оба числа положительны — сравним их квадраты: $10=\dfrac{360}{36}$ и $\left(\dfrac{19}{6}\right)^2=\dfrac{361}{36}$. Значит, $\sqrt{10}\lt\dfrac{19}{6}$.